microbik.ru
  1 2 3 4

4. Уравнение состояния идеального газа Клапейрона-Менделеева

(Клапейрон (1799 – 1864) – французский физик и инженер; Менделеев Дмитрий Иванович (1834 – 1907) – великий русский учёный). Опыт даёт, что при небольших плотностях газы подчиняются уравнению (Клапейрона):

.

В соответствии с законом Авогадро моли всех газов занимают при одинаковых условиях одинаковый объём.

Отсюда const будет одинакова для всех газов, если количество равно 1 молю. Обозначив const=R, получим (Менделеев):

Уравнение состояния идеального газа для одного моля, где газовая постоянная , а - объем 1 моля газа.





Если у нас имеется молей, то объём будет , , подставим в уравнение состояния для 1-го моля:

или .

Количество вещества можно представить в виде отношения массы газа m к молярной массе газа М и окончательно уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона-Менделеева) для массы газа m:

(4)
Следствие из уравнения Клапейрона-Менделеева. Газовую постоянную выразим как . Произведение , тогда . Разделим обе части последнего уравнения на V и, учитывая, что
концентрация молекул, получим

(5)

Оба уравнения (4) и (5) представляют различные формы записи уравнения состояния идеального газа. Это уравнение позволяет достаточно просто оценить параметры газа, если его можно считать идеальным.
Вопросы для самоконтроля.


  1. Какой газ называется идеальным? Опишите модель идеального газа.

  2. Что называется числом степеней свободы механической системы i?

  3. Чему равно число i для одноатомной и многоатомной молекул? Обоснуйте свой ответ.

  4. Что утверждает закон равнораспределения?

  5. Как зависит внутренняя энергия идеального газа от его абсолютной температуры?

  6. Как объясняют давление газа в МКТ?

  7. Запишите основное уравнение молекулярно-кинетической теории. Что называют микро- и макропараметрами системы?

  8. Проделайте вывод основного уравнения МКТ.

  9. Что позволяет рассчитать уравнение состояния идеального газа Клапейрона-Менделеева?


Лекция №8

Элементы классической статистики

(статистической физики)

План

  1. Статистический метод исследования системы. Понятие функции распределения. Статистическое усреднение.

  2. Фазовое пространство, фазовая точка, фазовая ячейка. Распределение Максвелла (распределение молекул по абсолютным значениям скорости). Средние скорости молекул.

  3. Барометрическая формула. Распределение Больцмана.

  4. Распределение Больцмана для дискретных уровней энергии.

  5. Статистика Максвелла-Больцмана.


1. Статистический метод исследования системы. Понятие функции распределения.

Цель молекулярно-кинетической теории – истолковать свойства тел, которые непосредственно наблюдаются на опыте (давление, температура и т.п.) как суммарный результат действия молекул. При этом используется статистический метод, при котором учитывается не движение отдельных молекул, а средние величины, характеризующие движение огромной совокупности частиц. В статистической физике рассматривается конкретная молекулярная модель и к ней применяются математические методы статистики, основанной на теории вероятности.

Понятие о функции распределения.

Пусть имеется некоторая система из большого числа микрочастиц. Предположим, что какая-то характерная для системы величина Х, может иметь дискретные значения . Осуществим над системой очень большое число N измерений величины Х. Допустим, что измерений дали результат , измерений результат , результат .

Отношение называется относительной частотой появления результата .

Вероятность появления результата называется величина:



Так как на практике N всегда конечно, то для вычисления вероятности стараются, чтобы N и были достаточно большими. Тогда можно считать, что



(Заметим, что вероятность случайного события есть количественная мера ожидаемой возможности его появления).

Рассмотрим случай, когда случайная величина Х имеет непрерывный характер (например, скорости молекул). Для этого разобьём всю область измерения Х на отдельные интервалы и будем считать число попаданий случайной величины в тот или иной интервал. Возьмём малую величину и найдём число измерений при которых , измерений при ….., измерений при которых результат измерений находится в интервале от х до х+а (). Вероятность того, что результат измерений окажется в интервале от 0 до а обозначим , от а до соответственно от х до х+а



(1)

Начертим ось х и отложим вверх полоски высотой (рис. 8.1)



Полученная столбчатая диаграмма называется гистограммой.

Площадь всей гистограммы равна 1.



(т.к. ).

В пределе при ступенчатая линия, ограничивающая гистограмму, превратится в гладкую кривую (рис. 8.2).

Рис. 8.1









Или, учитывая (1)






(2)







Функция f(x) имеет смысл плотности вероятности распределения частиц по х. Вероятность того, что результат измерения окажется в пределах от х до x+dx:



(Площадь)

Вероятность того, что величина х попадёт в интервал (a,b):

Рис. 8.2









Вероятность того, что величина х может принять хотя бы какое-нибудь значение (вероятность достоверного события), равна единице:



Это условие называется условием нормировки. Интегрирование производится по всему интервалу возможных значений величины х. Из этого условия следует, что вся площадь под кривой f(x) равна единице.

Смысл условия нормировки легко понять на примере бросания монеты. Сумма вероятностей выпадения «орла» или «решки» (при достаточно большом числе опытов) . Аналогично для игрального кубика сумма вероятностей того, что выпадет 1, или 2, или 3…. .

Статистическое усреднение

Зная функцию распределения f(x), можно найти среднее значение результатов измерения величины х. Из N измерений в случаях (из **):



Получается результат, равный х. Сумма таких результатов . Сумма всех возможных результатов:



(в левой части фактически стоит сумма х). Разделив обе части на N, получим среднее значение величины х:



Формула статистического усреднения

Т.е. для определения среднего х необходимо знать функцию распределения f(x). Интегрирование проводится по интересующему нас интервалу значений х.

2. Фазовое пространство, фазовая точка, фазовая ячейка

Введём воображаемое шестимерное пространство, каждая точка которого характеризуется шестью координатами x, y, z, , , , где x, y, z – координаты, , , – соответствующие им проекции импульсов каждой молекулы. Такое пространство называется фазовым пространством молекул, а его точки – фазовыми точками.

Таким образом, мгновенное состояние отдельной молекулы полностью характеризуется положением её фазовой точки в фазовом пространстве.

Разобьём теперь всё фазовое пространство молекул на достаточно малые области с одинаковыми фазовыми объёмами. Такие области называются фазовыми ячейками (например, фазовая ячёйка может иметь форму бесконечно малого шестимерного прямоугольного параллелепипеда и иметь объём ).

Примем произвольную точку пространства О за начало координат. Отложим от неё в какой-то момент времени t векторы скоростей всех молекул газа: (рис. 8.3).



Концы этих векторов называются скоростными точками. Совокупность всех скоростных точек образуют 3-х мерное пространство, называемое пространством скоростей. Пространство скоростей является частным случаем фазового пространства. В пространстве скоростей можно ввести прямоугольные оси, по которым можно откладывать проекции , , вектора на эти оси.

Рис. 8.3


Распределение Максвелла (английский физик 1831-1879).

Скорости каждой молекулы в пространстве скоростей соответствует точка. Распределение этих точек в пространстве характеризует распределение молекул по скоростям. Вследствие равноправности всех



Рис. 8.4

направлений движения, расположение точек относительно начала координат будет сферически симметричным. (Рис. 8.4). Плотность точек в пространстве будет зависеть только от модуля скорости . Для скоростей, лежащих в пределах от до +d соответствующий объём в пространстве (объём сферического слоя). Число точек, находящихся в этом слое (каждая точка соответствует скорости отдельной молекулы) , где плотность точек в пространстве (подобно тому, как из выражения (2) следует). Смысл далее.

Смысл функции распределения Максвелла. – это число молекул, величина скоростей которых лежит в интервале от до +d. Разделим выражение для на N, тогда получим вероятность того, что скорость молекулы окажется в пределах от до +d.

, где имеет смысл объёмной плотности вероятности распределения скоростных точек в пространстве скоростей.

Обозначим функцию распределения молекул газа по скоростям. Вид функции F() был установлен теоретически Максвеллом. Опуская вывод (желающие могут ознакомиться с ним, например в [1] ) приведём окончательный результат:



Где m – масса молекулы, k – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура газа, – скорость молекулы. F() показывает, какая относительная доля молекул имеет скорость в интервале от до +d (). Функция F() образована произведением функций вида и (Рис. 8.5). Функция F() нормирована на 1.










Средние скорости молекул

Найдём наиболее вероятную скорость, соответствующую максимуму функции распределения. Эта скорость определяется из условия

, т.е.



Проведя дифференцирование произведения функций, получим



Средняя скорость молекул (имеется в виду средняя арифметическая скорость) по определению из формулы статического усреднения




Средняя скорость входит в коэффициенты диффузии, вязкости, теплопроводности и, соответственно используется в расчётах этих процессов.

Среднеквадратичная скорость ;

, откуда



Эта скорость входит в основное уравнение молекулярно-кинетической теории. Качественно положение характерных (средних) скоростей показано на рис. 8.6



Проанализируем, как будет меняться ход кривой при изменении температуры газа. При увеличении температуры (или уменьшении массы молекулы) максимум кривой смещается вправо (из ) и становится ниже (площадь под кривой остаётся неизменной) (Рис. 8.7)

Рис. 8.6






Рис. 8.7





<< предыдущая страница   следующая страница >>