microbik.ru
1




Часть 7. Дифференциальные уравнения

Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка


Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям


Задача об охлаждении тела. Тело температуры помещается в среду температуры 0°. Тело начинает охлаждаться. Требуется найти формулу, по которой можно определить температуру тела в любой момент времени, если известно, что скорость охлаждения какого-либо тела в любой момент времени пропорциональна разности температур тела и среды.

Можно показать, что математическое выражение для закона охлаждения равно .

Задача о касательной. Найти такую кривую, проходящую через точку , чтобы тангенс угла наклона касательной в любой ее точке равнялся ординате этой точки, сложенной с абсциссой точки касания.

Условия задачи выражаются соотношением .


^ Общие понятия


Пусть дана неизвестная функция одной переменной.

Определение 1. Уравнение, связывающее переменную, неизвестную функцию и ее производные до порядка , называют обыкновенным дифференциальным уравнением порядка .

Замечание. В указанном уравнении обязательно должна содержаться .

Определение 2. Функцию называют решением дифференциального уравнения , если при подстановке функция обращает уравнение в тождество.

Определение 3. Условия называют начальными условиями.

Определение 4. Общим решением дифференциального уравнения порядка называют функцию , удовлетворяющую следующим условиям:

  1. является решением дифференциального уравнения при всех значениях ;

  2. для каждого из допустимых начальных условий , можно найти такие значения постоянных , что функция удовлетворяет заданному начальному условию.

Определение 5. Частным решением дифференциального уравнения порядка называют функцию , получаемую из общего решения при фиксированных значениях произвольных постоянных .


^ Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка


Определение 6. Уравнение называют обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка.

Иногда дифференциальное уравнение удобнее записать в другой форме: или

Определение 7. Решением дифференциального уравнения первого порядка называется всякая функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Определение 8. Условие, что при функция должна быть равна заданному числу , называют начальным условием. Его записывают в виде .

В общем случае любое дифференциальное уравнение первого порядка имеет бесконечное множество решений.

Определение 9. Общим решением (общим интегралом) дифференциального уравнения называется функция , которая удовлетворяет условиям:

  1. является решением дифференциального уравнения при каждом значении ;

  2. для каждого из допустимых начальных условий , можно найти такое значение постоянной , что функция удовлетворяет заданному начальному условию.

Определение 10. Частным решением (частным интегралом) дифференциального уравнения называется любая функция , полученная из общего решения (общего интеграла) при конкретном значении постоянной .

Задача отыскания решения дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши.


^ Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными


Рассмотрим дифференциальное уравнение вида .

Определение 11. Уравнением с разделяющимися переменными называют уравнение вида .

Поделим обе части уравнения на . В результате , что дает общий интеграл уравнения.

Место произвольной постоянной может определятся различным образом, что дает несколько форм записи общего интеграла.


^ Однородные дифференциальные уравнения


Рассмотрим функцию двух переменных .

Определение 12. Функция называется однородной функцией степени однородности , если при любом выполняется условие .

Можно показать, что однородную функцию можно представить в виде функции отношения .

Определение 13. Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если – однородные функции одной и той же степени однородности.

При использовании замены однородное дифференциальное уравнение

Для решения однородного уравнения используют замену вида. В результате дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно .


^ Уравнения, приводящиеся к однородным


Рассмотрим дифференциальное уравнение вида , где – некоторые постоянные.

Возможны случаи.

  1. . В таком случае уравнение является однородным и интегрируется путем замены .

  2. Хотя бы одно из чисел отлично от нуля, при этом коэффициенты таковы, что справедливо равенство , где . Тогда с помощью подстановки вида уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

  3. Хотя бы одно из чисел отлично от нуля и . Тогда введем замену , , где – новые переменные, некоторые постоянные, их выбирают так, чтобы при подстановке в уравнение свободные члены были равны нулю. Для этого находят как решение системы . В результате исходное уравнение приводится к однородному уравнению.


^ Линейные уравнения

Уравнение Бернулли


Определение 14. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида , где – некоторые непрерывные функции.

Возможны случаи:

  1. или , получаем уравнение с разделяющимися переменными или ;

  2. функции произвольные.

Для решения используют замену , тогда . Уравнение принимает вид . Сгруппируем слагаемые и приравняем выражение в скобках к нулю . Тогда . Поскольку достаточно найти одно решение, возьмем . Следовательно исходное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Замечание. Можно проводить группировку, вынося переменную .

Рассмотрим уравнение вида , .

Определение 15. Уравнение , называют уравнением Бернулли.

Рассмотрим случаи:

  1. – линейное уравнение .

  2. – уравнение с разделяющимся переменными .

  3. . Поделим левую и правую части уравнения на . Уравнение принимает вид . При введении замены , , уравнение сводится к линейному .

Замечание. Решение уравнения Бернулли можно найти с помощью замены .


Уравнение в полных дифференциалах


Рассмотрим дифференциальное уравнение .

Определение 16. Уравнение называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть данного выражения представляет собой полный дифференциал некоторой функции.

Для того чтобы выражение являлось полным дифференциалом, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие .

Для нахождения искомой функции такой, что , проинтегрируем одну из частей полного дифференциала

.

Полученное равенство продифференцируем по переменной : . Тогда , откуда находим функцию .


Интегрирующий множитель


Пусть дифференциальное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Предположим, что существует некоторый множитель , при умножении на который получаем уравнение в полных дифференциалах .

Можно показать, что для нахождения требуется решить уравнение

.

Последнее уравнение представляет собой уравнение в частных производных, методы решения которого значительно сложнее.

Его решение найти значительно проще, если множитель будет зависеть только от одной переменной или .

Пусть для определенности . Можно показать, что если , т.е. зависит только от , то найденная из уравнения функция действительно является интегрирующим множителем.

При уравнение для нахождения интегрирующего множителя имеет вид .


Примеры задач


  1. Решить уравнения с разделяющимися переменными

    1. ;

    2. , ;

    3. ;

    4. ;

    5. ;

  2. Решить однородные уравнения

    1. ;

    2. ;

    3. ;

    4. ;

    5. ;

  3. Решить линейные уравнения

    1. ;

    2. ;

    3. ;

    4. ;

    5. ;

  4. Решить уравнения Бернулли

    1. ;

    2. ;

    3. ;

    4. ;

    5. ;

  5. Решить уравнения в полных дифференциалах

    1. ;

    2. ;

    3. ;

    4. ;

    5. ;

  6. Найти интегрирующий множитель и решить дифференциальные уравнения

    1. ;

    2. ;

    3. ;

    4. ;

    5. ;


Глава 2. Дифференциальные уравнения высших порядков


Уравнения, допускающие понижение порядка


В некоторых случаях можно найти решение дифференциального уравнения , понизив его порядок.

  1. Уравнение вида решается -кратным интегрированием. Общее решение имеет вид:

.

  1. Уравнение не содержит искомой функции и ее производных до порядка включительно, т.е. . Тогда вводят замену , откуда , , …, . Если полученное уравнение имеет решение, которое можно представить в виде , то находят искомую функцию из уравнения -кратным интегрированием.

  2. Уравнение не содержит независимой переменной . Понизить порядок уравнения можно с помощью замены , откуда , , … В результате получаем дифференциальное уравнение порядка .

  3. Уравнение является однородным относительно аргументов . Решение такого уравнения можно найти с помощью замены , где .


Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка


Определение 1. Дифференциальное уравнение вида , где – некоторые функции переменной , называют линейным однородным уравнением второго порядка.

Теорема 1. Если функции являются решениями уравнения , то функция также будет решением уравнения.

Определим, при каких условиях функция будет общим решением линейного однородного уравнения.

Введем понятие линейно независимой системы функций.

Определение 2. Система функций называется линейно независимой на интервале , если тождество выполняется для всех значений тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю.

Рассмотрим произвольную систему функций , являющуюся линейно независимой.

Определение 3. Если линейно независимые функции являются частными решениями линейного однородного уравнения, то называют фундаментальной системой функций данного дифференциального уравнения.

Справедлива теорема.

Теорема 2. Общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка является семейство функций , где – любая фундаментальная система функций данного уравнения.

Существуют условия, которые позволяют установить, что система функций действительно является фундаментальной. Пусть функции непрерывны на интервале со своими производными до порядка включительно.

Определение 4. Функциональный определитель



называется определителем Вронского (вронскианом) функций .

Теорема 2. Если система функций линейно зависима на интервале , то ее определитель Вронского тождественно равен нулю на указанном промежутке.

Теорема 3. Если система функций линейно независима на интервале , то ее определитель Вронского не обращается в нуль ни в одной точке указанного промежутка.

Следствие. Частные решения являются линейно независимыми тогда и только тогда, когда определитель Вронского отличен от нуля на всем промежутке.

Все указанные теоремы справедливы и для случая уравнений более высокого порядка.

Для определителя Вронского справедлива формула Остроградского .

Если одной из частных решений найдено, то второе решение можно установить из соотношения .


Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Метод вариации произвольных постоянных


Определение 5. Уравнение вида называется линейным неоднородным уравнением второго порядка.

Теорема 4. Общее решение линейного неоднородного уравнения находится как сумма общего решения соответствующего линейного однородного уравнения и произвольного частного решения исходного уравнения , т.е. .

Допустим, что найдено общее решение соответствующего однородного линейного уравнения . Будем искать общее решение исходного уравнения в виде . Тогда найти функции можно как решение системы



Такой метод называют методом вариации произвольных постоянных.


Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами


Рассмотрим уравнение вида , где – действительные числа.

Для нахождения решения данного уравнения составляют так называемое характеристическое уравнение . Из курса алгебры известно, что такое уравнение имеет ровно комплексных корней, среди которых могут быть и кратные. Пусть – корни уравнения. Рассмотрим случаи:

  1. – действительные и различные. Можно показать, что каждому корню будет соответствовать частное решение . Система функций является фундаментальной. Тогда общее решение уравнения имеет вид .

  2. действительные, но среди них имеются кратные корни. Можно показать, что некоторому корню кратности будет соответствовать следующая система линейно независимых функций . Таким образом, в общем решении каждому корню кратности соответствует слагаемое .

  3. среди корней характеристического уравнения имеются комплексные корни . Доказывается, что каждой паре комплексных корней в общем решении дифференциального уравнения соответствует слагаемое .

  4. среди корней характеристического уравнения есть кратные комплексные корни. В таком случае каждой паре комплексных корней кратности в общем решении соответствует слагаемое

.


Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами


Рассмотрим уравнение , где – действительные числа, – некоторая функция.

Общее решение неоднородного уравнения имеет вид , где – общее решение соответствующего однородного уравнения, – частное решение исходного уравнения.

Метод нахождения рассматривался в предыдущем параграфе. Чтобы найти используют метод вариации постоянных. Однако в некоторых случаях удобнее пользоваться методом подбора.

Предположим, что . Найдем . Тогда частное решение будем искать в виде , где – показатель кратности корня в характеристическом уравнении соответствующего линейного однородного уравнения, если не является корнем характеристического уравнения, то .


Примеры задач


  1. Найти решение уравнения, понизив его порядок



    1. ;

    2. ;

    3. ;

    4. ;

  2. Решить уравнения

    1. ;

    2. ;

    3. ;

    4. ;

    5. ;

  3. Решить уравнения

    1. ;

    2. ;

    3. ;

    4. ;

    5. .