microbik.ru
1


Проективная геометрия


§5. Модели проективной плоскости


Если найдено конкретное множествои конкретное отображение , удовлетворяющее аксиомам проективного пространства, то говорят, что построена интерпретация системы аксиом 1,2 проективного пространства. Само конкретное множество называется моделью проективного пространства.

Рассмотрим различные модели проективной плоскости.

1. Пусть — трёхмерное векторное пространство, , — связка прямых трехмерного евклидова пространства с центром в точке . Построим изображение по закону (*):

положим, где — прямая данной связки, параллельная вектору(рис.1).




Проверим, что выполняются аксиомы 1 и 2 проективной плоскости.

1) Проверим сюрьективность отображения f.

Пусть прямая l — произвольная прямая связки. Возьмем один из её направляющих векторов .Тогда по закону (*)есть прямая связки, параллельная вектору, а это есть прямая l, т.е.. Следовательно, f сюрьективно.

2) Проверим, что .

Пусть , где . По закону (*), , значит, прямые и совпадают, следовательно, их направляющие векторы коллинеарны, т.е. .

Пусть, .

— прямая, проходящая через точку О и параллельная,— прямая, проходящая через точку О и параллельная. А так как , тои должны совпасть. Итак,.

Аксиома 2) выполняется.

Таким образом, найдено конкретное множество(связка прямых) и конкретное отображение (заданное по закону (*)), удовлетворяющее аксиомам 1 и 2 проективной плоскости. Следовательно,модель проективной плоскости.

В этой модели проективными точками являются прямые связки с центром О, а проективными прямымимножества всех прямых, проходящих через точку О и лежащих в некоторой плоскости.



2. Пусть — трёхмерное векторное пространство, , — расширенная плоскость трёхмерного евклидова пространства, О — собственная точка этого пространства, .

Отображение f: построим по следующему закону:

положим, где - прямая проходящая через точку О и параллельная вектору(рис.2).





Таким образом,. Если, то — несобственная точка (рис. 2).

Собственные и несобственные точки плоскости будем считать равноправными и называть просто проективными точками. Обозначим через множество всех проективных точек плоскости.

1) Проверим, что f сюрьективно.

Пусть . Тогда в качестве векторавозьмем направляющий вектор прямой (ОМ). Имеем:.

2) Пусть,. Тогда А=B, где,. Следовательно, (ОА)=(ОВ), а так как прямые (ОА) и (ОВ) совпадают , то их направляющие векторы и коллинеарны.

Пусть, обратно, . Тогдаили .Так как и , то , т.е. А=B, где , . Итак, если, то.

Таким образом, построена ещё одна модель проективной плоскости.

В этой модели проективными точками являются собственные и несобственные точки расширенной плоскости, проективными прямымирасширенные прямыеплоскостии несобственная прямая плоскости .

Существуют и другие модели проективной плоскости.


§6. Принцип двойственности


На проективной плоскости справедлива следующая теорема, которая называется принципом двойственности на проективной плоскости:

Теорема 1. Пусть на проективной плоскости справедливо какое-нибудь утверждение ∆, касающееся точек, прямых и их взаимной принадлежности. Тогда справедливо и двойственное ему утверждение ∆*, полученное из ∆ заменой слов:

«прямая» — на «точка»,

«точка» — на «прямая»,

«лежит на» — на «проходит через»,

«проходит через» — на «лежит на».


Примеры двойственных предложений


∆: На каждой прямой лежит бесконечное множество точек.

∆*: Через каждую точку проходит бесконечное множество прямых.

∆: Через две различные точки проходит единственная прямая.

∆*: Любые две различные прямые пересекаются в единственной точке.


Принцип двойственности позволяет принять без доказательства одно из двойственных утверждений, если доказано другое.

В проективном пространстве также справедлив следующий принцип двойственности:

Теорема 2. Если верно утверждение ∆, касающееся точек, прямых, плоскостей проективного пространства и их взаимной принадлежности, то справедливо и двойственное утверждение ∆*, полученное из ∆ заменой слов «точка», «прямая», «плоскость» соответственно словами «плоскость», «прямая», «точка», а слов «лежит на», «проходит через» - соответственно словами «проходит через», «лежит на».


§7. Теорема Дезарга


Трёхвершинником называется совокупность трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх прямых, попарно соединяющих эти точки. Указанные точки называются вершинами, а прямые — сторонами трёхвершинника.

Рассмотрим на проективной плоскости два трёхвершинникаи , вершины которых заданы в том порядке, в котором они записаны.

Вершиныи,и,ибудем называть соответственными. Стороны, проходящие через соответственные вершины, также будем называть соответственными. Этои,и,и.

Теорема Дезарга — одна из основных и самых красивых теорем проективной геометрии.

Теорема 1 (Теорема Дезарга). Если прямые, проходящие через соответственные вершины двух трёхвершинников, проходят через одну точку, то точки пересечения соответственных сторон этих трёхвершинников лежат на одной прямой.




Так как точки ,иколлинеарны (лежат на одной прямой), то векторы,и , их порождающие, компланарны.

ине коллинеарны. Тогда по теореме о компланарных векторах .

Аналогично ; .

Вычтем почленно из первого равенства второе, из второго — третье и из третьего — первое:

— обозначим этот вектор через ;

— обозначим этот вектор через ; (1)

— обозначим этот вектор через .

Докажем, что вектор порождает точку.

ине коллинеарны, .

векторы,и компланарны точки ,и точка, порождаемая вектором, лежат на одной прямой, т.е. точка, порождаемая вектором, лежит на прямой. Аналогично доказывается, что эта точка лежит и на прямой. Следовательно, векторпорождает точку.

Аналогично доказывается, что векторпорождает точку, а вектор— точку.

Сложим равенства (1):

компланарныточки,, лежат на одной прямой.

Точка называется дезарговым центром, а прямая , содержащая точки ,и, — дезарговой осью.

Если сформулировать предложение, двойственное теореме Дезарга на проективной плоскости, то оно окажется теоремой, обратной теореме Дезарга:

Теорема 2 (обратная теореме Дезарга). Если точки пересечения соответственных сторон двух трёхвершинников лежат на одной прямой, то прямые, соединяющие соответственные вершины, проходят через одну точку.

Справедливость этой теоремы вытекает из справедливости теоремы 1 и принципа двойственности на проективной плоскости.

Совокупность десяти точек и десяти прямыхназывается конфигурацией Дезарга. Она обладает интересными свойствами:

1) На любой прямой из конфигурации Дезарга лежат 3 точки из конфигурации Дезарга;

2) Через каждую точку конфигурации Дезарга проходят 3 прямые конфигурации Дезарга;

3) В конфигурации Дезарга все точки и все прямые являются равноправными. Любая точка может быть принята за центр перспективы или любая прямая — за ось перспективы.




!| Заполните к практическому занятию таблицу:


№ п/п

Дезаргов центр

Дезарговы трёхвершинники

Дезаргова ось

1.

S

ABC и A'B'C'

MPQ

2.

M

...

...

3.

P

...

...

...

...

...

...

10.

C'

...

...



Основания геометрии


§15. Система аксиом Вейля

трехмерного евклидова пространства

и основные следствия из неё


Аксиоматика Вейля более простая, чем аксиоматика Гильберта, и тесно связана с различными разделами современной математики.

^ Основные понятия: точка (множество точек обозначим через Т), вектор (множество векторов — через V). Используют также вспомогательное понятие — действительное число (— множество всех действительных чисел).

^ Основные отношения: сложение векторов, умножение вектора на число; откладывание вектора от точки; скалярное умножение векторов.

Аксиомы Вейля делятся на 5 групп.


^ I. Аксиомы сложения векторов


Аксиомы первой группы описывают свойства отображения — операции сложения векторов.

Любым двум векторами ставится в соответствие вектор такой, что (называемый суммой векторови), причём выполняются следующие аксиомы:

I.1. .

I.2. .

I.3.

Вектор называется разностью векторови.

На основе первой группы аксиом доказываются две теоремы:

Теорема 1.1. . Векторназывается нулевым и обозначается через.

I.3, а тогда.

Пусть существует ещё один вектор такой, что. Вычтем почленно из равенства равенство. Получим: .

Аналогично доказывается теорема:

Теорема 1.2..

Из аксиом I.1-I.3 и теорем 1.1, 1.2 вытекает

Теорема 1.3. Множество всех векторов с операцией сложения образует абелеву (т.е. коммутативную) группу.


II. Аксиомы умножения вектора на число


Аксиомы второй группы описывают свойства отображения — умножения вектора на число.

Каждому вектору и каждому числу ставится в соответствие вектор , называемый произведением вектора на число λ, так, что выполняются следующие 4 аксиомы:

II.1. .

II.2. .

II.3.

II.4. .

Множество векторов, удовлетворяющих аксиомам I.1-I.3 и II.1-II.4, называется линейным векторным пространством.

На основе первой и второй групп аксиом вводятся понятия коллинеарных, линейно зависимых, линейно независимых векторов.

Векторыиназываются коллинеарными, если.

Векторы,,называются линейно зависимыми, если существуют такие числа α, β и γ, не все равные 0 одновременно, что выполняется равенство:.

Векторы,,называются линейно независимыми, еслитолько при.

Теорема 2.1. Любые два коллинеарных вектора линейно зависимы.

существуют такие α и β ,что илинейно зависимы. ■

Теорема 2.2. Два неколлинеарных вектора линейно независимы.

Теорема 2.3. Система трёх векторов, из которых один — нулевой, линейно зависима.


III. Аксиомы размерности


III.1. Существуют три линейно независимых вектора.

III.2. Любые четыре вектора линейно зависимы.

Аксиомы I-III групп позволяют ввести понятие трёхмерного векторного пространства.

Совокупность векторов, удовлетворяющих аксиомам I-III групп, называется трёхмерным векторным пространством ().

На основе аксиом I-III групп дается понятие базиса, координат вектора в данном базисе и доказываются свойства координат векторов.

Всякая упорядоченная система трёх линейно независимых векторов пространстваназывается базисом.

Доказывается, что любой вектор пространстваможно разложить по базисным векторам.

Пусть- базис, , тогда. Коэффициенты при базисных векторах называются координатами векторав базисеи обозначаются так:.

Теорема 3.1. При сложении векторов их соответственные координаты складываются. При умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число.

Теорема 3.2. Векторыиколлинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.

Теорема 3.3. Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответственные координаты.


^ IV. Аксиомы скалярного умножения векторов


Аксиомы четвёртой группы описывают свойства отображения — операции скалярного умножения векторов.

Каждой паре векторов ставится в соответствие действительное число, обозначаемое через так, что выполняются аксиомы:

IV.1. .

IV.2. .

IV.3.

IV.4. .

Аксиомы групп I-IV позволяют ввести понятие евклидова векторного пространства.

Совокупность векторов с операциями сложения, умножения на число и скалярного умножения векторов, удовлетворяющими аксиомам I-IV групп, называется трёхмерным евклидовым векторным пространством.

Неотрицательное число называется длиной вектора.

Углом между векторамии называется число φ , удовлетворяющее уравнению и находящееся в пределах .

Вектор, длина которого равна 1, называется единичным.

Векторыиназываются ортогональными, если. Обозначение: .

Базис называется ортонормированным, если он состоит из попарно ортогональных единичных векторов. Он обозначается через.

Условие ортогональности векторови:.

Если в базисе,, то справедливы:

Теорема 4.1. .

Теорема 4.2. .

Теорема 4.3. .


V. Аксиомы откладывания вектора от точки


Аксиомы группы V описывают свойства операции откладывания вектора от точки.

Любым двум точкамставится в соответствие вектор(А — начало вектора, В — конец) так, что выполняются аксиомы:

V.1..

V.2. (аксиома треугольника).

Совокупность точек и векторов, удовлетворяющих I-III и V группам аксиом, называется точечно-векторным трёхмерным аффинным пространством.

Совокупность точек и векторов, удовлетворяющих I-V группам аксиом, называется точечно-векторным трёхмерным евклидовым пространством или трёхмерным вещественным евклидовым пространством и обозначается через.

Совокупность точки и трёх линейно независимых векторов называется аффинной системой координат и обозначается так:

.

Точка О называется началом координат, векторыкоординатными векторами.

Радиус-вектором точки Х относительно точки О называется вектор.

Координатами точки Х в системе координатназываются координаты её радиус-векторав базисе.

Теорема 5.1. Если,в аффинной системе координат , то.

Теорема 5.2. Если,в прямоугольной декартовой системе координат, то

.

Точка М делит направленный отрезокв отношении, если .

Теорема 5.3. Если в аффинной системе координат,, то координаты точки М, делящей направленный отрезок в отношении, находятся по формулам:

;; .

Систему аксиом Вейля трёхмерного евклидова пространства обозначают через .