microbik.ru
1


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ



ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ


ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ


Утверждаю:


Декан ФПМК


___________________ А.М.Горцев


«1» марта 2011 г.


Рабочая программа дисциплины
Уравнения математической физики



Направление подготовки

010400 Прикладная математика и информатика


Квалификация выпускника


Бакалавр


Форма обучения

очная


Томск


2011 г.

^ 1. Цели освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины “Уравнения математической физики” являются


- знакомство с методами построения математических моделей различных природных процессов;

- обучение студентов методам решения интегральных уравнений;

- изучение основных методов решения уравнений в частных производных, выявление физического смысла полученных решений;


- освоение математического аппарата для решения основных задач математической физики.


В результате освоения данной дисциплины обеспечивается достижение целей основной образовательной программы “Прикладная математика и информатика”; приобретённые знания, умения и навыки позволяют подготовить выпускника к научно-исследовательской деятельности в области прикладной математики, к производственно-технологической деятельности в области создания современных систем для решения прикладных задач и педагогической деятельности.


^ 2.Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата

Дисциплина “Уравнения математической физики” находится в цикле Б3 «Профессиональный цикл».

Для изучения курса необходимы знания по предметам: математический анализ, функциональный анализ, линейная алгебра и аналитическая геометрия, дифференциальные уравнения.

Знания, полученные при изучении данного курса, используются при изучении курса “Теория случайных процессов”, в научно-исследовательской деятельности в области прикладной математики, в производственно-технологической деятельности в области создания современных систем для решения прикладных задач и педагогической деятельности.


^ 3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины “Уравнения математической физики”.


В результате освоения дисциплины обучающийся должен обладать общекультурными компетенциями:

- способностью осознать социальную значимость своей будущей профессии, обладать высокой мотивацией к выполнению профессиональной деятельности (ОК-9).

В результате освоения дисциплины обучающийся должен обладать профессиональными компетенциями:

- способностью понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат (ПК-3);

- способностью критически переосмысливать накопленный опыт, изменять при необходимости вид и характер своей профессиональной деятельности (ПК-5);

- способностью в составе научно-исследовательского и производственного коллектива решать задачи профессиональной деятельности (ПК-4).


В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

    Знать:

  • основные задачи математической физики;

  • методы решения интегральных уравнений и краевых задач;

  • математический аппарат решения задач математической физики, включая метод Фурье и метод интегральных преобразований.

    Уметь:

    - применять методы математической физики для решения конкретных задач;

    - решать интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра;

    - решать краевые задачи и задачи на собственные значения для основных операторов математической физики.

    Владеть:

    - основными методами математической физики;

    - навыками использования методов решения интегральных уравнений и краевых задач, имеющих реальный физический смысл.


^ 4. Структура и содержание дисциплины “Уравнения математической физики”


Общая трудоемкость дисциплины составляет 7,4 зачетных единиц (266 часов).


Содержание курса


V семестр:


4.1 Вводная часть.


Тема 1. Необходимые сведения из функционального анализа.

Определения и полнота функциональных пространств. Ортонормальные

системы. Эрмитовы операторы.


4.2 Интегральные уравнения.


Тема 2. Интегральные уравнения Фредгольма I и II рода.

Метод последовательных приближений. Определяются повторные ядра,

резольвента.

Тема 3. Интегральные уравнения Вольтерра. Теорема

единственности решения уравнения.

Тема 4. Интегральные уравнения Фредгольма с вырожденным

ядром. Эквивалентность интегрального уравнения с вырожденным

ядром системе алгебраических уравнений.

Тема 5. Теоремы Фредгольма для уравнений с вырожденным и

непрерывным ядром.

Тема 6. Альтернатива Фредгольма. Следствия из теорем

Фредгольма.

Тема 7. Интегральные уравнения с эрмитовым непрерывным ядром.

Вариационный принцип. Теорема Гильберта-Шмидта для

истокообразно представимых функций.

Тема 8. Теорема Мерсера.

Тема 9. Решение неоднородного интегрального уравнения с

эрмитовым непрерывным ядром. Формула Шмидта. Вариационный принцип

для положительно определенного ядра.


4.3 Задача Штурма-Лиувилля.


Тема 10. Задача на собственные значения. Задача

Штурма-Лиувилля. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному

уравнению. Свойства собственных значений и собственных функций

задачи Штурма-Лиувилля. Теорема Стеклова.

Тема 11. Обобщенная задача Штурма-Лиувилля. Свойства

обобщенного оператора Штурма-Лиувилля. Вариационный принцип.


4.4 Метод Фурье I.


Тема 12. Вывод уравнения теплопроводности. Метод Фурье

для однородной задачи теплопроводности. Неоднородные граничные

условия. Задача теплопроводности с производной в граничном условии.

Метод разложения по собственным функциям неоднородных уравнений в

частных производных.


4.5 Специальные функции.


Тема 13. Функции Бесселя. Определения. Лемма об ортогональности.

Лемма о корнях функции Бесселя. Краевая задача на собственные

значения для уравнения Бесселя. Неоднородная краевая задача для

уравнения Бесселя. Полнота функций Бесселя. Лемма о собственных

значениях и собственных функциях. Теорема о разложении в ряд Фурье.

Теорема о полноте.


4.6 Интегральные преобразования.


Тема 14. Интегральные преобразования. Решение задачи

Коши для уравнения теплопроводности с помощью преобразования Фурье.

Решение уравнения переноса методом преобразования Лапласа.


VI семестр:


4.7 Обобщенные функции.


Тема 1. Обобщенные функции. Основные функции. Носители

основной и обобщенной функции. Операции над обобщенными функциями.

Тема 2. Дифференцирование обобщенных функций. Свойства

обобщенных производных. Первообразная обобщенной функции.

Тема 3. Прямое произведение обобщенных функций. Корректность

определения. Свойства прямого произведения.

Тема 4. Свертка обобщенных функций. Определение свертки в

общем случае. Корректность определения. Свойства свертки.

Условия существования свертки обобщенных функций. Непрерывность

свертки. Сверточная алгебра. Теорема существования. Теорема об

ассоциативности и коммутативности. Уравнения в сверточной алгебре.

Тема 5. Обобщенные решения линейных дифференциальных уравнений.

Фундаментальные решения. Задача Коши для обыкновенного линейного

дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Обобщенная задача Коши для волнового уравнения. Решение

классической задачи Коши.


4.8 Гармонические функции.


Тема 6. Теорема о среднем арифметическом. Принцип максимума.

Следствия.

Тема 7. Задача Дирихле. Теорема единственности решения

задачи Дирихле. Свойства функции Грина задачи Дирихле.

Решение краевой задачи с помощью функции Грина.

Сведение краевой задачи к интегральному уравнению. Лемма о

гармоничности. Утверждение об эквивалентности.


4.9 Метод Фурье - II.


Тема 8. Гиперболические задачи. Одномерное волновое

уравнение. Колебания ограниченной струны. Колебания тонкой балки.

Тема 9. Эллиптические задачи. Оператор Лапласа.

Преобразование координат. Задача Дирихле. Задача Неймана.

Тема 10. Метод Фурье в многомерном случае. Свободные

колебания прямоугольной мембраны. Неоднородное гиперболическое

уравнение. Общий случай.

Тема 11. Параболическое уравнение. Задача об остывании круглого цилиндра.

^ Темы практических занятий

По курсу предусмотрены следующие практические занятия:

1. По функциональному анализу (функциональные пространства,

их полнота, ортогональные системы, нормы операторов и функционалов) .


2. Интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра.


3. Собственные функции и собственные числа операторов.


4. Задача Штурма-Лиувилля .


  1. Решение УЧП методом интегральных преобразований

Решение параболического уравнения на полупрямой методом синус-преобразования.

Решение задачи Коши параболического уравнения методом преобразования Фурье.

Применение преобразования Лапласа для решения параболических уравнений. Принцип Дюамеля.


5. Обобщенные функции (свойства, сходимость, функционал Сохоцкого,

дробное дифференцирование и интегрирование, решение дифференциальных

уравнений, свертки, приложения к задачам математической физики) .


6. Задачи Дирихле в круге, кольце, шаре.


7. Специальные функции (полиномы Лежандра, функции Бесселя).


8. Фундаметальные решения оператора Лапласа, волнового оператора,

оператора теплопроводности, оператора Гельмгольца.


10. Функция Грина задачи Дирихле.


11. Метод разделения переменных Фурье.







п/п



Раздел

Дисциплины

С

еместр

Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах)


^ Формы текущего контроля успеваемости

Форма промежуточной аттестации (по семестрам)

лекции

прак-тические

заня-тия

само-стоя-тельная

работа




1

Вводная часть

5

2

4

5

Опрос на занятиях

2

Интегральные уравнения

5

16

8

9

Опрос на занятиях, проверка дом. работ, контрольная работа

3


Задача Штурма-Лиувилля

5

7

3

5

Опрос на занятиях, проверка дом. работ

4

Метод Фурье

5

5

6

8

Опрос на занятиях, проверка дом. работ, контрольная работа

5

Специальные функции

5

5

8

10

Опрос на занятиях, проверка дом. работ

6

Интегральные преобразования

5

2

3

5

Опрос на занятиях, проверка дом. работ

7

Обобщенные функции

6

14

17

18

Опрос на занятиях, проверка дом. работ

8

Гармонические функции

6

5

-

4

Опрос на занятиях, проверка дом. работ

9

Задачи Дирихле в круге, кольце

6



1

-

Опрос на занятиях

10

Фундаментальные решения

6



4

5

Опрос на занятиях, проверка дом. работ

11

Функция Грина задачи Дирихле


6



2

4

Опрос на занятиях, проверка дом. работ

12

Метод Фурье

6

6

6

7

Опрос на занятиях, проверка дом. работ, контрольная работа

13

Итого

5-6

62

62

80

62



^ 5. Образовательные технологии


В процессе обучения для достижения планируемых результатов освоения дисциплины используются следующие методы образовательных технологий:

– работа в команде;

– опережающая самостоятельная работа;

– междисциплинарное обучение;

– проблемное обучение;

– обучение на основе опыта.

Для изучения дисциплины предусмотрены следующие формы организации учебного процесса: лекции, практические занятия, самостоятельная работа студентов, индивидуальные и групповые консультации.


6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.

Контроль самостоятельной работы студентов и качество освоения дисциплины осуществляется посредством:

– опроса студентов при проведении практических занятий;

– проведения контрольных работ;

– выполнения студентами самостоятельных домашних работ по вариантам;

– проверки выполнения домашних заданий.

Итоговая аттестация предусматривает сдачу зачета по темам практических занятий и экзамена по темам теоретического курса. Для итоговой аттестации подготовлены список задач для сдачи зачета и билеты – 30 шт. для сдачи экзамена. Билеты содержат три теоретических вопроса.


Самостоятельная работа студентов является наиболее продуктивной формой образовательной и познавательной деятельности студента в период обучения. Текущая самостоятельная работа направлена на углубление и закрепление знаний студентов, развитие практических умений. Текущая самостоятельная работа включает в себя : работу с лекционным материалом, опережающую самостоятельную работу, подготовку к зачету и экзамену.

При изучении данной дисциплины студентам предлагается следующий перечень контрольных вопросов для самостоятельной работы.


^ Перечень контрольных вопросов


4.1 Вводная часть.


  1. Необходимые сведения из функционального анализа. Определения функциональных пространств, функционалов, операторов. Вычисление нормы функционалов и операторов.

  2. Полнота функциональных пространств.

  3. Ортонормальные системы. Процедура ортогонализации Шмидта.

  4. Неравенство Бесселя.

  5. Полные ортонормальные системы. Теорема.

  6. Эрмитовы операторы. Теорема о собственных значениях эрмитовых операторов.


4.2 Интегральные уравнения.


  1. Интегральные уравнения (ИУ). Метод последовательных приближений.

Определения повторных ядер, резольвенты.

2. Лемма об интегральных операторах с непрерывными ядрами.

3. Сформулировать лемму Дю Буа-Реймона.

4. Лемма Дини.

5. Теорема о единственности решения ИУ Фредгольма.

6. Повторные ядра. Лемма об операторах с повторными ядрами.

7. Теорема о единственности решения ИУ с непрерывным ядром.

8. ИУ Вольтерра. Теорема о единственности решения.

9. Интегральные уравнения с вырожденным ядром. Эквивалентность

интегрального уравнения алгебраическому уравнению.

10. Интегральные уравнения с вырожденным ядром. Эквивалентность cоюзного

интегрального уравнения алгебраическому уравнению.

11. Теоремы Фредгольма.

12. Показать эквивалентность интегрального уравнения с непрерывным ядром

интегральному уравнению с вырожденным ядром.

13. Показать эквивалентность союзного интегрального уравнения с

непрерывным ядром интегральному уравнению с вырожденным ядром.

14. Альтернатива Фредгольма.

15. Следствия из Теорем Фредгольма.

16. Интегральные операторы с эрмитовым непрерывным ядром.

17. Вариационный принцип для эрмитового непрерывного ядра.

18. Утверждение о вырожденности эрмитового непрерывного ядра.

19. Теорема Гильберта-Шмидта.

20. Билинейное разложение повторных ядер. Утверждение.

21. Билинейное разложение эрмитового непрерывного ядра. Утверждение.

22. Теорема Мерсера.

23. Решение неоднородного интегрального уравнения с эрмитовым непрерывным

ядром. Формула Шмидта.

24. Положительно определенные ядра. Теорема (Вариационный

принцип для положительно определенного ядра).


4.3 Задача Штурма-Лиувилля.


1. Задача Штурма-Лиувилля. Функция Грина. Свойства функции Грина.

2. Лемма о существовании и единственности решения краевой задачи.

3. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению.

Теорема об эквивалентности решения краевой задачи ИУ-ю.

4. Свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля.

5. Теорема Стеклова.

6. Обобщенная задача Штурма-Лиувилля. Свойства оператора Штурма-Лиувилля.

7. Вариационный принцип для оператора Штурма-Лиувилля.


4.4 Метод Фурье I.


1. Классификация уравнений в частных производных. Канонические формы

уравнений второго порядка.

2. Вывод уравнения теплопроводности.

3. Метод Фурье для однородной задачи теплопроводности.

4. Преобразование неоднородных граничных условий в однородные.

5. Задача теплопроводности с производной в граничном условии.


4.5 Специальные функции.


1. Функции Бесселя. Определения. Лемма об ортогональности.

2. Лемма о корнях функции Бесселя.

3. Краевая задача на собственные значения для уравнения Бесселя.

4. Неоднородная краевая задача для уравнения Бесселя.

5. Полнота функций Бесселя. Лемма о собственных значениях и

собственных функциях. Теорема о разложении в ряд Фурье. Теорема о полноте.

5. Полиномы Лежандра. Свойства.


4.6 Интегральные преобразования.


1. Интегральные преобразования. Определения. Свойства.

2. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности с помощью преобразования Фурье.

3. Решение уравнения переноса методом преобразования Лапласа.


4.7 Обобщенные функции.


1. Обобщенные функции. Основные функции.

2. Носители основной и обобщенной функции. Пространства D(G), D'(G).

Лемма дю Буа-Реймона. Доказать сингулярность дельта-функции.

3. Операции над обобщенными функциями.

4. Дифференцирование обобщенных функций.

5. Свойства обобщенных производных.

6. Первообразная обобщенной функции. Теорема.

7. Прямое произведение обобщенных функций. Определение.

8. Лемма о корректности определения прямого произведения обобщенных

функций.

9. Свойства прямого произведения (коммутативность, линейность и

непрерывность, ассоциативность, дифференцируемость, f(x)1(y)).

10. Свертка обобщенных функций. Определение свертки в общем случае.

Корректность определения.

11. Свойства свертки.

12. Условия существования свертки обобщенных функций. Теорема.

Непрерывность свертки. Предложение.

13. Сверточная алгебра. Теорема существования. Теорема об

ассоциативности и коммутативности.

14. Уравнения в сверточной алгебре. Теорема.

15. Фундаментальные решения. Теорема.

16. Фундаментальное решение оператора Лапласа.

17. Фундаментальнoе решение оператора Гельмгольца.

18. Обобщенные решения линейных дифференциальных уравнений.

19. Задача Коши для обыкновенного линейного дифференциального уравнения

с постоянными коэффициентами.

20. Обобщенная задача Коши для волнового уравнения.

Решение классической задачи Коши.


4.8 Гармонические функции.


1. Оператор Лапласа. Свойства. Преобразование координат. Задача Дирихле. Задача Неймана.

2. Теорема о среднем арифметическом.

3. Принцип максимума. Следствия.

4. Задача Дирихле. Теорема единственности решения задачи Дирихле.

5. Функция Грина задачи Дирихле. Свойства.

6. Решение краевой задачи с помощью функции Грина.

7. Формула Пуассона.

8. Сведение краевой задачи к интегральному уравнению.

Лемма о гармоничности. Утверждение об эквивалентности.



    1. Метод Фурье - II.



  1. Гиперболические задачи. Вывод одномерного волнового уравнения. Типы граничных условий.

  2. Колебания ограниченной струны.

  3. Колебания тонкой балки.

4. Метод Фурье в многомерном случае. Свободные колебания прямоугольной мембраны.

5. Параболическое уравнение.

6. Уравнение Шредингера.

7. Задача об остывании круглого цилиндра.

8. Эллиптические задачи.


^ 7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

а) основная литература:

_1. Владимиров В.С. “Уравнения математической физики”. Москва, Наука, 1988.

2. В.А.Васильев, В.В.Конев, С.М.Пергаменщиков “Теорема Гильберта-Шмидта. Разложение Каруннена-Лоэва.” Методическое пособие по курсу “Уравнения математической физики”. 2007. с. 1--26.

3. Тихонов А.М., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.

4. Фарлоу С. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1985.

б) дополнительная литература:

_1. “Сборник задач по уравнениям математической физики”. Под редакцией Владимирова В.С., Москва, Физматлит, 2001.


^ 8. Материально-техническое обеспечение дисциплины “Уравнения математической физики”


В Научной библиотеке ТГУ имеется достаточное количество необходимой учебной литературы по дисциплине.


Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки прикладная математика и информатика.


Автор д.ф.-м.н., профессор Васильев В.А.


Рецензент д.ф.-м.н., профессор Конев В.В.


Программа одобрена на заседании Ученого Совета ФПМК


от “24” февраля 2011 года, протокол № 282.