microbik.ru
1
n=Числовые ряды Вопрос~sz=116838;pg=1;te=Вопрос. Определение сходимости и расходимости числового ряда (обязательно!). Свойства сходящихся рядов~cat=~t=~!~
Числовые ряды

Вопрос. Определение сходимости и расходимости числового ряда (обязательно!). Свойства сходящихся рядов.

Ответ.

Определения

Пусть дана последовательность вещественных чисел . Образуем новую последовательность по правилу

; ; ; … ; .

Эти величины называются частными суммами числового ряда, а слагаемое называют общим членом ряда.

Рассмотрим теперь . Он называется числовым рядом и обозначается символом

.

Если этот предел существует и конечен, то говорят, что числовой ряд сходится, а само значение предела, то есть величину А, называют суммой числового ряда. Если этот предел не существует или бесконечен, то говорят, что числовой ряд расходится (так как в данной главе других рядов не будет, то слово «числовой» мы будем опускать).

Обратите внимание на одну деталь: индекс суммирования в знаке бесконечной суммы может быть любым, то есть

,

от этого ничего не меняется. Как говорят, индекс суммирования является немым индексом, то есть он может быть обозначен любой буквой.

Величина



называется остатком ряда после n-го слагаемого. Его можно записать и так:

.


^ Простейшие свойства сходящихся рядов


1. Если ряд сходится, то сходится любой из его остатков. Наоборот, из сходимости остатка вытекает сходимость исходного ряда.

Доказательство.

Имеем:



 частная сумма исходного ряда и



 частная сумма остатка ряда после п-го слагаемого. Очевидно, что между этими величинами имеет место соотношение



Если ряд сходится   остаток ряда после п-го слагаемого сходится.

Далее, , и поэтому

если сходится остаток ряда после п-го слагаемого   исходный ряд сходится.

Обратите внимание на важное для дальнейшего соотношение .

Следствие. Отбрасывание или изменение конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости.

2. Если ряд сходится, то .

Действительно, из соотношения получаем

.

3. Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, то есть .

Действительно, из определения частных сумм легко видеть, что . Поэтому



Следствие. (важно!) Признак расходимости ряда.

Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится.

4. Если ряд сходится, то ряд тоже сходится и верно соотношение

.

Действительно, для частных сумм наших рядов имеем

;

Делая предельный переход , получаем

.

5. Если ряды и сходятся, то ряд тоже сходится и верно соотношение

.

Действительно, из определения частных сумм рядов получаем

; ; .

Отсюда видно, что между частными суммами рядов верно соотношение

.


^ Признаки сходимости для рядов с положительными членами.

Вопрос. Сходимость рядов с положительными членами (теоремы 1 и 4).

Ответ.

Как и в случае несобственных интегралов, важнейшим элементом теории числовых рядов является следующий: надо, не вычисляя ряда, ответить на вопрос, сходится он или нет. В конце концов, если он сходится, то его можно вычислить численно на ЭВМ, а вот если он расходится  попытки сосчитать его численно ни к чему хорошему не приведут.

В данном разделе будут зассмотрены признаки сходимости рядов с положительными членами. Итак, пусть даны два ряда и и выполнено условие и .

Теорема 1. Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы

.

Доказательство. Имеем: и поэтому с ростом п . По теореме о существовании предела монотонно возрастающей последовательности, для существования конечного необходимо и достаточно,

.

Теорема 4. Пусть существует и . Тогда ряды и сходятся или расходятся одновременно.


Доказательство.

1. Прежде всего отметим, что существование означает, что

.

2. Пусть ряд сходится. Но тогда ряд также сходится, и, так как , то, по теореме 2, сходится и ряд .

3. Так как , то всегда можно взять  настолько малым, чтобы было . Пусть теперь ряд сходится. Но тогда сходится и ряд и, так как , то, по теореме 2, сходится и ряд .

Вопрос. Сходимость рядов с положительными членами (теорема 2 и признак Коши).

Ответ.

Теорема 2. Пусть даны два ряда (ряд А) и (ряд В) с положительными членами и выполнено условие . Тогда из сходимости ряда В следует сходимость ряда А, а из расходимости ряда А  расходимость ряда В.

Доказательство.

1. Пусть ряд В сходится  . Но  ряд А сходится.

2. Пусть ряд А расходится. Так как в этом случае , то это означает, что . Но так как , то и поэтому и ряд В расходится. 

Замечание. Так как Отбрасывание или изменение конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости, то условие может выполняться лишь .


^ Признак сходимости Коши.

Пусть существует . Тогда

если с < 1, то ряд сходится;

если с > 1, то ряд расходится;

если с = 1, то вопрос о сходимости или расходимости ряда не может быть решен на основании данного признака.

Этот признак сходимости носит название признака Коши.

Прежде, чем доказывать признак Коши рассмотрим ряд , который называется геометрической прогрессией. Его частные суммы равны

.

Рассмотрим теперь возможные варианты.

1. Пусть . Тогда и поэтому и ряд сходится.

2. Пусть . Тогда общий член ряда не стремится к нулю и, по признаку расходимости, ряд расходится.

Таким образом, ряд сходится при и расходится при .

А теперь

Доказательство.

Прежде всего заметим, что существование означает, что

.

А теперь  варианты.

1. Пусть . Возьмем  настолько малым, чтобы было . Но тогда имеем

.

Но, так как , ряд сходится, и, по теореме 2, сходится и ряд .

2. Пусть . Возьмем  настолько малым, чтобы было . Но тогда имеем

.

Но, так как , ряд расходится, и, по теореме 2, расходится и ряд .


Вопрос. Сходимость рядов с положительными членами (теорема 3 и признак Даламбера).

Ответ.

Теорема 3. Если п выполнено условие , то из сходимости ряда В следует сходимость ряда А, а из расходимости ряда А  расходимость ряда В.


Доказательство.

Имеем следующую цепочку неравенств

; ; ; … .

Перемножая эти неравенства, получаем

, или .

Ссылка на теорему 2 и доказывает эту теорему. 


Признак Даламбера

Пусть существует . Тогда

если < 1, то ряд сходится;

если > 1, то ряд расходится;

если = 1, то вопрос о сходимости или расходимости ряда не может быть рншен на основании данного признака.


Доказательство.

Прежде всего заметим, что существование означает, что

.

1. Пусть . Возьмем  настолько малым, чтобы было . Но тогда имеем

.

Но, так как , ряд сходится, и, по теореме 3, сходится и ряд .

2. . Пусть . Возьмем  настолько малым, чтобы было . Но тогда имеем

.

Но, так как , ряд расходится, и, по теореме 3, расходится и ряд . 


Вопрос. Интегральный признак сходимости Коши.

Ответ.

^ Интегральный признак Кош


Отсутствие универсального ряда для построения признака сходимости не означает, конечно, что не может быть других принципов для построения признаков сходимости числовых рядов. Ниже будет разобран достаточно оригинальный признак сходимости, называемый интегральным признаком Коши.

Пусть функция

1. определена на промежутке ;

2. монотонно убывает и .

Рассмотрим ряд вида , то есть слагаемые этого ряда имеют вид .


^ Теорема. При указанных выше ограничениях ряд сходится одновременно с несобственным интегралом .


Доказательство.

1. Основное неравенство.

Обозначим . Так как , то . далее имеем

.

В силу монотонного убывания

,

и поэтому в данном случае

.

Это неравенство мы условно будем называть основным неравенством.

2. Пусть интеграл сходится. Это значит, что . Но тогда имеем





.



Переходя к пределу , получаем, что

,

откуда и следует, что ряд сходится.

Возникающая ситуация видна на прилагаемом рисунке: сумма площадей прямоугольников, каждый из которых равен одному слагаемому ряда, меньше площади, ограниченной функцией и осью абсцисс.

3. Пусть ряд сходится.

Тогда имеем

,

то есть .



Переходя к пределу , получаем, что

,

откуда и следует, что интеграл сходится.

Возникающая ситуация видна на прилагаемом рисунке: площадь, ограниченная функцией и осью абсцисс, меньше суммы площадей прямоугольников, каждый из которых равен одному слагаемому ряда. 



Вопрос. Оценка остатка сходящегося ряда и темпа роста расходящегося ряда (на базе интегрального признака Коши).

^ Ответ.

Оценка остатка сходящегося ряда

При нахождении суммы ряда на ЭВМ, конечно, невозможно просуммировать бесконечное число слагаемых, всегда приходится ограничиваться какой-то частной суммой. Но при этом необходимо иметь какую-то оценку погрешности, то есть оценку остатка сходящегося ряда. Ниже будет получена одна из таких оценок.

Вспомним основное неравенство предыдущей теоремы:

.

Тогда имеем



Переходя к пределу , получаем

.

С другой стороны получаем



Переходя к пределу , получаем

.

Объединяя эти два неравенства, получаем окончательно

.

Это и дает искомую оценку остатка сходящегося ряда.


^ Оценка темпа роста расходящегося ряда


Не следует думать, что расходящиеся ряды не имеют никакого смысла и их следует только выбросить. На практике иногда результат появляется в виде частной суммы расходящегося ряда, и возникает совсем другая проблема  оценить, как ведет себя эта сумма при большом числе слагаемых. Например, ответ на задачу появился в виде . Ряд расходящийся, а ответ в виде «эта сумма стремится к бесконечности» никому не интересен. Что делать? Считать численно? Ну, при эту сумму еще можно сосчитать, а что делать, если ? А ведь, скажем, число молекул бывает и побольше.

Поэтому и возникает проблема нахождение более удобных выражений (так называемых асимптотик) для частных сумм расходящихся рядов при большом числе слагаемых. Ниже будет выведена одна такая формула.

Итак, нам надо оценить поведение сумм вида при . Мы построим такую оценку в тех предположениях о функции , которые были сделаны выше.

Начинаем с основного неравенства

.

Вычитаем из всех частей неравенства



умножаем на



и складываем, меняя k от 1 до п:




Обратите внимание на то, что, согласно предыдущему неравенству, все слагаемые в сумме положительны. Поэтому эта сумма монотонно возрастает с ростом п, но ее значения ограничены сверху величиной . Ссылаясь на теорему о пределе монотонно возрастающей последовательности можно утверждать, что существует конечный

.

А теперь отбросим этот предел. Но тогда мы обязаны в правой части добавить слагаемое, которое стремится к нулю и написать

,

где , то есть является бесконечно малой величиной.

Теперь имеем

,

,

.

Обозначая через С, получаем окончательную формулу

,

или, в явном виде,

,

правда константа С так и остается неопределенной и ее надо находить из каких-то других соображений.

Эта формула, являющаяся частным случаем гораздо более общей формулы, носящей название формулы ЭйлераМаклорена, и определяет асимптотику поведения частных сумм расходящегося ряда.

Пример.

Вернемся к . В данном случае, , , и мы получим

.

В данном случае константа С (она носит название постоянной Эйлера) есть Теперь можно считать эти суммы и при ! Вот только бы еще оценить …(ищи формулу ЭйлераМаклорена).


Вопрос. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка знакопеременного ряда.

Ответ.

Знакопеременные ряды

Пусть имеется последовательность чисел , такая, что . Ряд



называется знакопеременным рядом.

Признак Лейбница. Если , то ряд сходится.


Доказательство.

Рассмотрим следующую частную сумму изучаемого ряда



с чётным индексом 2m. Ее можно записать двояко. Записывая ее в форме



и вспоминая, что монотонно убывают, получаем, что все слагаемые положительны и поэтому монотонно возрастают с ростом m. С другой стороны, записывая эту же частную сумму в виде

,

так как все выражения, стоящие в скобках, опять-таки положительны. Поэтому, по теореме о пределе монотонно возрастающей последовательности, существует конечный .

Рассмотрим теперь частные суммы знакопеременного ряда с нечетным индексом. Имеем

.

Но тогда

.

Поэтому вообще и ряд сходится. 

Оценка остатка знакопеременного ряда

Пусть есть остаток знакопеременного ряда после п-го слагаемого.

Пусть . Тогда имеем:

.

Проделаем с этим выражением преобразования, аналогичные тем, которые проделывались с частными суммами. Группируя слагаемые так



получаем, что . Группируя слагаемые так



получаем, что . Окончательно имеем

Пусть . Тогда имеем:

.

Но тогда



и все предыдущие рассуждения повторяются слово в слово. В этом случае .

Оба полученных неравенства можно объединить в одно

.

Словами его часто формулируют так: остаток знакопеременного ряда меньше первого отброшенного слагаемого.