microbik.ru
1

2.3. Деформации и напряжения

В точках интегрирования элемента деформации и напряжения вычисляются с помощью уравнений (2.1-1) и (2.2- 4):

{el} = [B] {u} - {th} , (2.3-1)

{} = [D] {el}, (2.3-2)

где {el} - деформации, вызывающие напряжения (выходная величина EPEL);

[B] - матрица деформации-перемещения в точке интегрирования;

{u} - вектор узловых перемещений;

{th} - вектор температурных деформаций;

{} - вектор напряжений (выходная величина S);

[D] - матрица упругости.

Напряжения в узлах и в центре элемента вычисляются по значениям напряжений в точках интегрирования, см. раздел 13.6.


^ 2.3.1. Функции деформаций

Три значения главных деформаций 0 представляют собой корни кубического уравнения, определяемого компонентами вектора деформаций:

x - 0

1/2 xy

1/2 xz







1/2 xy

y - 0

1/2 yz

= 0

(2.3-3)

1/2 xz

1/2 yz

z - 0







Главные деформации обозначаются через 1, 2, 3 (выходные величины выводятся в виде параметра EPEL с соответствующими номерами 1, 2 и 3). Главные деформации упорядочены таким образом, что 1 является наибольшей положительной деформацией, а 3 - наибольшей отрицательной.

Интенсивность деформаций I (выходная величина INT) представляет собой абсолютную величину наибольшей из трех разностей: 1 - 2, 2 - 3 или 3 - 1, т.е.

I = MAX (1 - 2, 2 - 3, 3 - 1). (2.3-4)

Деформации Мизеса, или эквивалентные деформации е (выходная величина EQV) вычисляются по формуле

е = (Ѕ [(1 - 2)2 + (2 - 3)2 + (3 - 1)2]) Ѕ. (2.3-5)


^ 2.3.2. Функция напряжений

Три значения главных напряжений 0 представляют собой корни кубического уравнения, определяемого компонентами вектора напряжений:

x - 0

1/2 xy

1/2 xz







1/2 xy

y - 0

1/2 yz

= 0

(2.3-6)

1/2 xz

1/2 yz

z - 0







Главные напряжения обозначаются через 1, 2, 3 (выходные величины - S1, S2 и S3). Главные напряжения упорядочены таким образом, что 1 представляет собой наибольшее положительное напряжение, а 3 - наибольшая отрицательное.

Интенсивность напряжения I (выходная величина SINT) представляет собой абсолютную величину наибольшей из трех разностей: 1 - 2, 2 - 3 или 3 - 1, т.е.

I = MAX (1 - 2, 2 - 3, 3 - 1). (2.3-7)

Напряжения Мизеса, или эквивалентные напряжения е (выходная величина SEQV) вычисляются по формуле

е = (Ѕ [(1 - 2)2 + (2 - 3)2 + (3 - 1)2])1/2, (2.3-8)

Эквивалентные напряжения связаны с эквивалентными деформациями следующим соотношением:

е = 2 e G, (2.3-9)

где G = Е / (2 (1 + )) - модуль сдвига,

Е – модуль Юнга (вводится как параметр ЕХ командой МР),

- коэффициент Пуассона (вводится в виде PRXY или NUXY командой МР).


^ 2.3.3. Напряжения на поверхности элемента

Вывод поверхностных напряжений можно осуществить для "свободных" поверхностей двумерных и трехмерных элементов. Термин "свободная поверхность" означает, что такая поверхность не связана с другими элементами и на ней отсутствуют предписанные перемещения или узловые силы, направленные по нормали к поверхности. Для вычисления напряжений на поверхности трехмерных шестигранных твердотельных элементов выполняются следующие шаги:

  1. Вычисляются деформации ’x, 'y, 'xy на поверхности в точках интегрирования Гаусса 2x2 с помощью соотношения:

{'} = [B'] {u'} - {(th ')}, (2.3-10)

в котором символом (') обозначена принадлежность деформаций к поверхностной системе координат.

  1. Для каждой точки задаются значения напряжений:

z = - P, (2.3-11)

'xz = 0, (2.3-12)

'yz = 0, (2.3-13)

где P - приложенное давление. Уравнения (2.3-12) и (2.3-13) справедливы в том случае, если поверхность, для которой вычисляются напряжения, является свободной.

  1. В каждой точке используются шесть уравнений, задающих материальные свойства элемента:

{'} = [D'] {'}, (2.3-14)

чтобы найти оставшиеся неизвестными компоненты вектора деформаций и напряжений (z', xz', yz', 'x, 'y, 'xy).

  1. Результаты усредняются по всем точкам интегрирования Гаусса.



^ 2.3.4. Выходные величины для оболочечного элемента

Для упругих оболочечных элементов усилия и моменты на единицу длины (в принятом для оболочек формате) определяются следующими формулами:

Tx = t (x,top + 4x,mid + x,bot) / 6 (2.3-15)

Ty = t (y,top + 4y,mid + y,bot) / 6 (2.3-16)

Txy = t (xy,top + 4xy,mid + xy,bot) / 6 (2.3-17)

Mx = t2 (x,top - x,bot) / 12 (2.3-18

My = t2 (y,top - y,bot) / 12 (2.3-19)

Mxy = t2 (xy,top - xy,bot) / 12 (2.3-20)

Nx = t (xz,top + 4xz,mid + xz,bot) / 6 (2.3-21)

Ny = t (yz,top + 4yz,mid + yz,bot) / 6 , (2.3-22)

где Tx, Ty, Txy – нормальные и сдвигающее усилия на единицу длины (выходные величины ТХ, ТУ, ТХУ),

Mx, My, Mxy – изгибающие моменты на единицу длины (выходные величины МХ, МУ, МХУ),

Nx, Ny – перерезывающие усилия на единицу длины (выходные величины NХ, NУ),

t – толщина в средней точке элемента, вычисленная по нормали к срединной плоскости,

x и т.д. – нормальные напряжения (выходные величины SХ и т.д.),

и т.д. – сдвиговые напряжения (выходные величины SХУ и т.д.).

Следует заметить, что формат оболочечных обозначений и соглашения, относящиеся к моментам в узлах элемента, находятся в явном противоречии друг с другом. Например, для консольной балки со связанными узлами на свободном конце, ориентированной вдоль оси х и состоящей из оболочечных элементов, расположенных в плоскости х–у, при деформировании в направлении оси z чисто изгибающей нагрузкой имеет место следующее соотношение:

Mx b = FMY, (2.3-23)

где b - ширина балки,

FMY - момент, прикладываемый на свободном конце балки; вводится в виде параметра ^ VALUE командой F с меткой Lab = МY (а не MX).

Использование функций формы оболочечного элемента имеет результатом постоянные поперечные деформации и напряжения по толщине оболочки. Для некоторых оболочечных элементов введено изменение этих величин таким образом, что они достигают максимума в 3/2 от постоянного значения на срединной поверхности и равны нулю на внутренней и наружной поверхностях; см. Главу 14.

Напряжения z на поверхностях оболочечного элемента принимаются равными (с противоположным знаком) давлению, приложенному к соответствующей поверхности, и линейно меняются между этими значениями.



________________________________________


2-
Structural Strain and Stress Evaluations