microbik.ru
1

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ


Выпускная работа по
«Основам информационных технологий»


Магистрант

кафедры теории функций, ММФ

Заренок Максим Александрович

Руководители:

доцент кафедры теории функций

Рогозин Сергей Васильевич,

старший преподаватель

Кожич Павел Павлович

Минск – 2008 г.

Оглавление.


Введение. 4

Глава 1. Обзор литературы. 7

Глава 2. Методика исследования. 9

Глава 3. Основные результаты. 14

Глава 4.Обсуждение результатов. 22

Заключение. 24

Список литературы. 26

Предметный указатель. 27



Реферат на тему:

«Описание областей влияния базисных вейвлет-функций при помощи ИТ и построение решения задачи Дирихле для некоторых специальных областей

Введение.

Теория вейвлетов, или как их еще называют – всплесков, имеет истоки в таких классических областях математики, как теория функций вещественного переменного, теория функций комплексного переменного, функциональный анализ, анализ Фурье. Фактически вейвлет-анализ возник как обобщение анализа Фурье для исследования сильно локализованных нелинейных волновых процессов, которые следовало изучать в некоторых фиксированных диапазонах частот. Анализ Фурье – это хорошо разработанное направление, занимающее центральное место в математическом анализе и его приложениях. Фундаментальное значение во всех разделах науки и техники имеют не только его технические приемы, но и возможности наглядной физической интерпретации. Более того, вычислительные аспекты рядов Фурье особенно привлекательны главным образом по причине свойства ортогональности этих рядов и простоты их выражения с использованием только двух функций: cos(x) и sin(x).

Так же, как и в анализе Фурье, «вейвлет-анализ» имеет два существенных и важных раздела: «интегральное вейвлет-преобразование» и «вейвлет-ряды».

Под термином вейвлет-преобразования понимается либо:

  • интегральное вейвлет-преобразование;

в отличие от традиционного применяемого для анализа сигналов преобразования Фурье вейвлет-преобразование обеспечивает двумерную развертку исследуемого одномерного сигнала, при этом частота и координата рассматриваются как независимые переменные. В результате появляется возможность анализировать свойства сигнала одновременно в пространственной и частотной областях.

  • полудискретное вейвлет-преобразование определяет коэффициенты заданной функции в специально сконструированном вейвлет-базисе;

В этом случае вейвлет-преобразование одномерного сигнала состоит в его разложении по базису, сконструированному из обладающей определенными свойствами функции (вейвлета) посредствам масштабных изменений переносов. Каждая из функций этого базиса характеризует как определенную пространственную (временную) частоту, так и ее локализацию в физическом пространстве (времени).

  • дискретное вейвлет-преобразование – дискретному набору данных ставится в соответствие дискретный набор характеристик соответствующих частот.

Таким образом, в отличие от традиционного применяемого для анализа сигналов преобразования Фурье вейвлет-преобразование обеспечивает двумерную развертку исследуемого одномерного сигнала, при этом частота и координата рассматриваются как независимые переменные. В результате появляется возможность анализировать свойства сигнала одновременно в пространственной и частотной областях.

Далеко не случайно многие исследователи называют вейвлет-анализ «математическим микроскопом» - название прекрасно отражает замечательное свойство метода сохранять хорошее разрешение на разных масштабах. Очень важна способность этого «микроскопа» обнаруживать внутреннюю структуру существенно неоднородного объекта и изучить его локальные свойства.

Способность вейвлетов найти идеальный компромисс между локализацией по времени и по чистоте путем автоматического выбора и подгонки под исследуемый сигнал ширин окна по обеим осям, соразмеряя их с положениями центров, является решающей характеристикой для их успешного использования при анализе сигналов сложной формы. Вейвлет-преобразование расчленяет сигнал (функцию) на отдельные частотные компоненты, что дает возможность изучать каждую из компонентой с разрешением, соответствующим ее масштабу, и, таким образом, получать хорошую частотно-временную локализацию.

Основной целью работы является решение задачи Дирихле для области ограниченной концентрическими окружностями в терминах вейвлет-анализа.

Особенностью поставленной задачи является, то, что она решается при помощи вейвлет-рядов. В работе используются ранее полученные результаты для концентрического кольца, описанные в статьях Субботина и Черных, где был построен базис гармонических в концентрическом кольце функций и через этот базис выражено решение задачи Дирихле для концентрических окружностей. Данное решение представляется в виде ряда, который содержит бесконечное число слагаемых.

Решение поставленной задачи достигается при помощи определения зон влияния базисных вейвлет-функций и, в частности, слагаемых, содержащихся в этих функциях, т.к. вейвлет-базисы могут быть хорошо локализованными как по частоте, так и по времени. При выделении в сигналах хорошо локализованных разномасштабных процессов можно рассматривать только те масштабные уровни разложения, которые представляют целевой интерес.

Глава 1. Обзор литературы.

Уже имеются сотни, а, может быть и тысячи работ, посвященных вейвлетам. Поэтому представленный обзор далек от того что бы быть полным. Здесь указанные основные книги и авторы, которые необходимы для ознакомления с данной темой.

Две классические книги по вейвлет-теории написаны двумя основоположниками предмета: Иовом Мейером (1990) и Ингрид Добеши (1992). Книга Мейера требует знания математики на исследовательском уровне, в то время как книга Добеши доступна для более широкой аудитории. Много плодотворных результатов по вейвлет-теории впервые были представлены в работах Мейера (1985 – 1986), Малла (1988), Добеши (1988). Затем появились некоторые вытекающие из них монографии по вейвлетам (Чуи, Кайзер, Коорвиндер). Наиболее продвинутая и понятная книга, ориентированная на изложение математической теории вейвлетов, - это книга Хернандеза и Вайса (1996).

Выше перечисленные ученые – специалисты в чистой математике, квантовой механике, инженеры-электрики и инженеры акустики, при этом временной диапазон 80 – 90-ые года ХХ столетия. В дальнейшем, ввиду большой научной и практической актуальности, вейвлетами стали заниматься более широкий круг ученых.

Имеется несколько важных направлений развития основ вейвлет-теории:

  • вейвлет-пакеты (Куафман, 1989);

  • применение вейвлетов в сжатии сигналов (Викерхаузер, 1992);

  • вейвлеты и обработка сигналов (Теолис, 1998);

  • сжатие изображений и обработка изображений (улучшение контрастности) (Риул, 1991; Хилтон, 1994);

и т.д.

Одно из наиболее плодотворных применений вейвлетов – это численные методы решения дифференциальных уравнений. В качестве примеров можно привести статьи Жаффара (1992), Белкина (1993).

Глава 2. Методика исследования.

Определение. Если удовлетворяет условию «допустимости»:

,

то называется «базисным вейвлетом». Относительно каждого базисного вейвлета интегральное преобразование на определяется формулой

, ,

где и .

Определение. Тождественно не равная нулю функция называется функцией-окном, если так же принадлежит . Центр и радиус функции-окна определяются как



и

,

соответственно; ширина функции окна равняется .

Пусть - базисный вейвлет, такой что и его преобразование Фурье являются функциями-окнами с центрами и радиусами соответственно. Тогда ясно, что интегральное вейвлет-преобразование



аналогового сигнала , локализует сигнал во «временном окне» , с центром окна в и шириной, равной . В анализе сигналов это носит название «временной локализации».

Изложим вкратце результаты полученные при решении задачи Дирихле для концентрического кольца в работах. Эти результаты являются базой для наших дальнейших построений и рассуждений.

Системы функций являются базисами различных пространств гармонических в единичном круге функций. Здесь , , и при

,

- функция, тригонометрически сопряженная к

, - произвольные гладкие функции со следующими свойствами:

при ;

при ;

при ;

при и считается, что .



Так же в рассмотрение можно ввести следующие системы гармонических функций



в кольце . Каждая из систем является базисом различных пространств гармонических в кольце функций.

Пусть , - непрерывные -периодические (вещественные) функции. Можно видеть, что систему при любом и можно использовать для представления решения задачи Дирихле



для кольца . А именно, справедлива формула

,

где , т.е. решение представляется в виде вейвлет ряда с бесконечным числом слагаемых.

Таким образом используя полученное ранее решение и основное свойство вейвлетов, а именно, их частотно-временную локализацию, будем искать области влияния базисных функций.

Первой сложностью, с которой мы сталкиваемся, является то, что мы работаем с функциями комплексной переменной, а предложенные формулы для функций вещественной переменной. Эту проблему мы решаем в ручную: путем замены переменных в интеграле и дальнейшим его вычислением по области ограниченной единичной окружностью с центром в начале координат. Но для вычисления интегралов и построения областей влияния используются возможности пакета Mathematica.

Пакет Mathematica является программным средством для проведения фундаментальных и прикладных математических исследований широкого спектра проблем современного естествознания.

Глава 3. Основные результаты.

Для решения поставленной нами задачи мы воспользуемся возможностями пакета Mathematica.

Возможности пакета Mathematica позволяют производить вычисления с любой точностью. Mathematica может производить расчеты с использованием большого числа специальных функций. Позволяет вычислять интегралы, численно решать алгебраические и дифференциальные уравнения и системы уравнения. Может обрабатывать численные данные, производя их статический анализ, а также производить Фурье-анализ, интерполяцию и аппроксимацию данных с помощью метода наименьших квадратов. Может работать не только с числами, но и с матрицами, обеспечивая выполнение всех операций линейной алгебры.

Практические все выше перечисленные возможности данного математического пакеты будут нами использованы для достижения поставленной цели.

Рассмотрим базисную функцию



и обозначим за , где – номер базисной функции, – номер слагаемого в базисной функции.

Начнем исследование с вычисления координат центра области влияния слагаемых входящих в базисную функцию.





где .

Теперь используя возможности пакета Mathematica, вычисляем значения полученных интегралов.

Очевидно, что .

Вычисляя второй интеграл, мы получаем, что . Данные вычисления показали, что центр области влияния любого слагаемого входящего в базисную функцию лежит в начале координат точке (0; 0), следовательно, и центр области влияния любой базисной функции находится в данной точке, но такая ситуация невозможна. Исходя из этого, мы переходим к более глубокому исследованию подынтегральной функции.

Mathematica может строить двумерные и трехмерные графики функций, заданных явно или в параметрической форме, а также контурные графики и графики плотности. Аналогично можно изображать и численные данные.

Начнем анализ данной функции с построения ее графика, используя возможности пакета Mathematica для более точного рисунка. Т.к. функция комплекснозначная, то зададим ее параметрическим способом:

.

Построив график подынтегральной функции при различных , получаем следующие рисунки:











Рассмотрев графики функций, можем заметить некоторую закономерность, а именно для -ого слагаемого получается «роза» с лепестками. И теперь от интегрирования по всей области ограниченной единичной окружностью, переходим к интегрированию по круговому сектору, градусная мера, которого равна .

Тогда ,

т.е. -ое слагаемое -ой базисной функции имеет 2 центров окон влияния лежащих на окружности, следующим образом
()

или

().
Аналогично, используя формулу радиуса окна находим границы области влияния.





.

Подставляя полученный ранее центр окна в предыдущую формулу, получаем его радиус. Подробное вычисление и конечная формула радиуса окна влияния не приводятся в данном реферате из-за их сложности. Хотелось бы заметить, что вычисление данного интеграла, получение ответа и его упрощение без использования компьютера потребовало бы большого количества времени.

Окно будет иметь вид усеченного кругового сектора, а именно

окно.bmp

Рисунок имеет единственную неточность: радиус области влияния очень маленький по сравнению с расстояние от центра окна до начала координат. Рассчитано, что при расстоянии от центра окна до начала координат равном радиус окна равен , а при расстоянии – радиус равен .

Построив области влияния для каждого слагаемого базисной функции, построим область влияния для всей базисной функции.
Для имеем следующий рисунок



для



а для

.

Таким образом мы видим, что областью влияния каждой базисной функции является кольцо и при увеличении номера функции радиус внутренней и внешней окружности ограничивающих кольцо стремятся к нулю, т.е. уменьшается и ширина кольца.

Глава 4.Обсуждение результатов.

В предыдущей главе был получен результат о том, что областью влияния базисной вейвлет-функции является кольцо. Данная кольцо имеет особенностью то, что при увеличении номера функции радиус внутренней и внешней окружности ограничивающих кольцо стремятся к нулю, т.е. уменьшается и ширина кольца.

Вспомним условие задачи Дирихле для кольца

.

Решение данной задачи записывается в виде ряда

, где .

Радиус внутренней окружности кольца фиксирован, а т.к. область влияния базисных функций сужается и стремится к нулю, следовательно с некоторого номера область влияния базисных функций не имеет общих точек с кольцом для которого решается наша задача. Значит в решении мы можем оставить конечное число членов . Области влияния базисных функций этих членов имеют общие точки с кольцом, для которого решается задача.

Данный результат полностью согласуется с аналитическими исследованиями асимптотического поведения решения задачи Дирихле на данной области, что говорит правильности вычислений.

Хотелось бы отметить, что решения данной задачи без использования информационных технологий, а именно возможностей пакета Mathematica, было бы проблематично, начиная с первого шага. Решение интегралов, построение графиков и областей влияния при помощи пакета Mathematica дает нам достаточно точные вычисления, уменьшает вероятности ошибки в вычислениях, поэтому на каждом этапе был возможен объективный анализ результатов.

В принципе построение области влияния для базисных функций вручную невозможно, а значит не было бы возможным и получение данного результата. Аналитическое доказательство, того что данная область кольцо потребовало бы большего количество и времени и труда, чем графическое полученное при помощи компьютера.

Заключение.

Красота математического аппарата вейвлет-анализа и его практическая польза привлекают к себе внимание исследователей, работающих как над фундаментальными, так и над чисто прикладными проблемами. Более того, уже появляются результаты, имеющие коммерческий выход.

Уникальные математические свойства вэйвлетов сделали их очень мощным инструментом анализа и последующего синтеза любого сигнала. Свойство ортогональности позволяет получать независимую информацию на разных масштабах. Нормируемость обеспечивает сохранение величины информации на различных этапах преобразования. Свойство локальности помогает получить знание о тех конкретных областях, в которых проявляют себя изучаемые масштабы (частоты). Наконец, полнота вейвлет-базиса, образованного сжатиями и сдвигом некой функции, обеспечивает возможность совершить обратное преобразование.

Все эти свойства позволяют, используя вэйвлет-преобразование, анализировать сложные сигналы на разных масштабах и в разных точках, решать уравнения, описывающие исключительно сложные нелинейные системы, содержащие взаимодействия на многих шкалах, изучать резко изменяющиеся функции и т.д. Вэйвлет-преобразование легко обобщается на множества любых размерностей и потому может применяться также и для анализа многомерных объектов. Благодаря этому вейвлеты незаменимы при распознавании объектов.

Из вышесказанного можно сделать вывод, что развитие информационных технологий дало мощный толчок не только в математических исследованиях, но и в других сферах деятельности.

Информационные технологии в математике дают нам возможность быстро, точно и безошибочного вычисления, что позволяет получать необходимые результаты и делать их объективный анализ и моделирование.

Построение вейвлетов, исследование их свойств, построение вейвлет преобразований и работа с сигналами при помощи вейвлет-аппарата очень трудоемкий процесс. И как видно из работы применение компьютерных технологий в данной области существенно облегчает работу с вейвлетами.

Список литературы.

  1. Чуи К. Введение в вейвлеты. Москва: «Мир», 2001. – 412 с.

  2. Фрейзер М. Введение в вейвлеты в свете линейной алгебры. Москва: «БИНОМ. Лаборатория знаний», 2008. – 487 с.

  3. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. – 464 с.

  4. Субботин Ю.Н., Черных Н. И. Гармонические всплески и асимптотика решения задач Дирихле в круге с малым отверстием. // Математическое моделирование, 2002 год, том 14, номер 5, стр. 17 – 30.

  5. Субботин Ю.Н., Черных Н.И., Всплески в пространствах гармонических функций. // Известия РАН: серия математическая, 2000, том 64, номер 1, стр. 145 – 174.

  6. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков. // Успехи математических наук, 1998, том 53, номер 6 (324), стр. 53 – 128.


Предметный указатель.


Б

базисный вейвлет, 7

В

вейвлет-анализ, 3

вейвлет-преобразование, 3

дискретное вейвлет-преобразование, 4

интегральное вейвлет-преобразование, 3

полудискретное вейвлет-преобразование, 3

З

задача Дирихле, 9

Ф

функция-окно, 7



Интернет ресурсы в предметной области исследования.

  1. http://wavelet.org. – англоязычный компьютерный журнал Wavelet Digest, который содержит большое количество информации по вейвлетам.

  2. http://stat.stanford/edu/wavelab - библиотека стандартных программ по вейвлетам и частотно-временным преобразованиям WaveLab, разработанная в Стенфордском Университете США.

  3. http://wavelet.narod.ru – «Русский Вейвлет-Дайджест» – на этом сайте много русскоязычной информации по вейвлет-анализу; в разделе «Люди» перечислены ученые и специалисты, работающие в области теории и применения вейвлет-функций.

  4. http://www.math.spbu.ru/~dmp – сайт Санкт-Петербургского семинара «Всплески и их применения», на котором можно получить сведения о русскоязычных публикациях и о российских конференциях по данной тематике.

  5. http://www.mathsoft.com/wavelet.html – сайт содержит огромный список публикаций по теории и приложениям вейвлетов.

  6. http://exponenta.ru – образовательный математический сайт. На сайте можно найти электронные книги, статьи по популярным математическим пакетам, ознакомиться с примерами их применения, получит новую информацию.

  7. http://lib.mexmat.ru – в этом разделе можно посмотреть аннотации на различные книги, журналы и статьи. Существуют форумы по разным естественным дисциплинам, в том числе и по механике. Сайт постоянно снабжается свежими новостями из мира науки.

  8. http://math.ru - библиотека книг по математике. Видео-лекции. Информация о математиках. Исторические сюжеты.

  9. http://mathnet.ru – это общероссийский математический портал, предоставляющий российским и зарубежным математикам различные возможности в поиске информации о математической жизни в России, здесь так же можно скачать много полезных книг по математике.

  10. http://planetmath.org – математическая энциклопедия, где собрано много информации начиная историей математики, заканчивая последними ее достижениями и приложениями.

  11. http://vac.org.by – сайт Высшей аттестационной комиссии Республики Беларусь, собраны все нормативные акты, касающиеся оформления и защиты диссертаций, а так же большое количество другой полезной информации для магистрантов, аспирантов и др.

  12. http://wolfram.com – официальный сайт компании S.Wolfram Reseach Ltd. Содержит разделы в которых собраны примеры использование программных продуктов компании, что очень для реализации решения задач.

Действующий личный сайт.
http://zarenokma.narod.ru

Граф научных интересов.

Магистрант Заренок М.А., механико-математический факультет.

Специальность: математический анализ


Смежные

специальности


01.01.03 –

дифференциальные уравнения;

  1. Развитие теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, интегральных, интегро-дифференциальных, функционально-дифференциальных, дифференциально-операторных уравнений и дифференциальных уравнений со случайными параметрами.

  2. Обоснование численных методов решения дифференциальных, интегральных, интегро-дифференциальных, функционально-дифференциальных и дифференциально-операторных уравнений.

  3. Разработка методов дифференциальных уравнений для решения задач механики, математической физики и других прикладных наук.




01.01.05 –

теория вероятностей и математическая статистика;

  1. Вероятностные пространства и случайные элементы.

  2. Предельные теоремы.

  3. Случайные процессы и поля.

  4. Стохастический анализ и стохастические дифференциальные уравнения.

  5. Случайные процессы специального вида, включая процессы массового обслуживания.

  6. Статистические выводы и анализ данных.

  7. Последовательный анализ.

  8. Непараметрическая и робастная статистика.

  9. Статистика случайных процессов, полей и временных рядов.

  10. Вероятностно-статистическое моделирование.








Основная

специальность


01.01.01 – математический анализ;

  1. Теория функций действительного и комплексного переменного, обобщенные функции.

  2. Специальные функции и интегральные преобразования.

  3. Выпуклый, негладкий и многозначный анализ.

  4. Теория приближений и методы численного анализа.

  5. Вариационное исчисление и общая теория экстремальных задач.

  6. Гармонический анализ.

  7. Абстрактные и функциональные пространства, наделенные алгебраическими, топологическими, метрическими, порядковыми и др. структурами. Измеримые пространства.

  8. Линейные и нелинейные операторы и специальные классы (дифференциальные, интегральные, интегро-дифференциальные, разностные и др.) таких операторов.

  9. Методы исследования абстрактных операторных уравнений, а также методы исследования дифференциальных, интегральных, интегро-дифференциальных, разностных и др. конкретных операторных уравнений.

  10. Анализ на многообразиях,  p-адический анализ, нестандартный анализ, различные направления конструктивного анализа, интервальный анализ, анализ в упорядоченных пространствах.





Сопутствующие

специальности


05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

  1. Развитие качественных, аналитических, приближенных, численных и имитационных методов для подготовки и реализации этапов вычислительного эксперимента.

  2. Развитие, обоснование и применение математических моделей для решения актуальных научных задач естествознания (физики, химии, биологии и др.), а также техники, медицины, экологии, экономики, социологии и других отраслей, рассмотрение вопросов точности, устойчивости и достоверности математического моделирования.

  3. Разработка специализированных численных и имитационных методов с целью создания проблемно-ориентированных комплексов программ для решения актуальных научно- технических задач.




Презентация магистерской диссертации.



















Список литературы к выпускной работе.

  1. Чуи К. Введение в вейвлеты. Москва: «Мир», 2001. – 412 с.

  2. Фрейзер М. Введение в вейвлеты в свете линейной алгебры. Москва: «БИНОМ. Лаборатория знаний», 2008. – 487 с.

  3. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. – 464 с.

  4. Субботин Ю.Н., Черных Н. И. Гармонические всплески и асимптотика решения задач Дирихле в круге с малым отверстием. // Математическое моделирование, 2002 год, том 14, номер 5, стр. 17 – 30.

  5. Субботин Ю.Н., Черных Н.И., Всплески в пространствах гармонических функций. // Известия РАН: серия математическая, 2000, том 64, номер 1, стр. 145 – 174.

  6. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков. // Успехи математических наук, 1998, том 53, номер 6 (324), стр. 53 – 128.

  7. Стоцкий Ю., Самоучитель Office 2000. «Питер», 2000, стр. 608.

  8. Голубева Л.Л., Малевич А.Э., Щеглова Н.Л. Компьютерная математика. Символьный пакет Mathematica. Курс лекций. – Мн.: БГУ, 2005.

Приложения.

Ввиду громоздкости вычислений полный вариант решения задачи, находится в файле Apl-1.nb и Apl-2.nb.