microbik.ru
1 2 ... 4 5
Алгебра элементарных событий.

1.Введение

2.Элементарные события

3.Диаграммы Эйлера.

4.Объединение, пересечение событий, противоположное событие и их комбинация.

5. Основные правила теории вероятностей Примеры логических задач на формулировки утверждений.

6. Вероятность суммы несовместимых событий

7. Вероятность суммы совместимых событий

8. Условные вероятности.

9. Вероятность произведения независимых событий.

10. Методические предложения: из опыта работы

11.Заключение

Современное общество предъявляет к своим членам довольно высокие требования, относящиеся к умению анализировать случайные факторы, оценивать шансы, выдвигать гипотезы, прогнозировать развитие ситуации, принимать решение в ситуациях, имеющих вероятностный характер, в ситуациях неопределенности, проявлять комбинаторное мышление, необходимое в нашем перенасыщенном информацией мире.

Одним из основных аспектов модернизации российского школьного математического образования XXI века является включение теоретико-вероятностных знаний во всеобщее обучение. Наиболее эффективно эти умения и навыки позволяет формировать курс «Теория вероятностей и математическая статистика», о необходимости изучения которого в российской школе люди науки спорят на протяжении последнего столетия. В разные периоды становления Российского образования подходы к стохастической линии менялись от полного ее исключения из математического образования в средней школе до частичного и полного изучения основных понятий. Стохастическая линия (соединение элементов теории вероятностей и математической статистики) призвана сформировать понимание детерминированности и случайности, помочь осознать, что многие законы природы и общества имеют вероятностный характер, реальные явления

Любая точная наука изучает не сами явления, протекающие в природе, в обществе, а их математические модели, т. е. описание явлений при помощи набора строго определенных символов и операций над ними. При этом для построения математической модели реального явления во многих случаях достаточно учитывать только основные факторы, закономерности, которые позволяют предвидеть результат опыта (наблюдения, эксперимента) по его заданным начальным условиям. Однако есть множество задач, для решения которых приходится учитывать и случайные факторы, придающие исходу опыта элемент неопределенности и процессы описываются вероятностными моделями.

Мир есть закономерное движение материи, определяющее всеобщую взаимосвязанность явлений, внутреннюю зацепку причин и следствий, проявляющуюся в том, что в данных условиях необходимо наступает такое-то событие, а не иное.

Теория вероятностей - математическая наука, изучающая закономерности, присущие массовым случайным явлениям. При этом изучаемые явления рассматриваются в абстрактной форме, независимо от их конкретной природы. То есть теория вероятностей рассматривает не сами реальные явления, а их упрощенные схемы - математические модели. Предметом теории вероятностей являются математические модели случайных явлений (событий).



« Случай играет в мире столь большую роль, что обыкновенно я стараюсь отвести ему как можно меньше места в уверенности, что и без моей помощи он позаботится о себе» А. Дюма.

И все же ничто не происходит без значительного или слабого вмешательства случайности, возникающей под воздействием непостоянных, побочных причинных связей, изменяющих ход явления при его повторении. Многочисленность и преобладание таких влияний создают эффект случайности - сложную закономерность скрытой предопределенности. Так возникают и, следовательно, существуют случайные явления – совокупности непредсказуемых случайных явлений.

Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по иному. Приведём примеры случайных событий и явлений.

ПРИМЕР 1. Один из видов спортивных соревнований - стрельба по мишени стрелами. Точка попадания стрелы при каждом прицельном выстреле случайна. Если же выпущено подряд несколько стрел в одну мишень, то в расположении точек попадания видна закономерность: они группируются в окрестности одной определенной точки (центра рассеяния); ближе к ней они располагаются гуще, дальше от нее – реже. Убывание густоты при этом также происходит закономерно.

ПРИМЕР 2. Молекулы газа перемещаются внутри закрытого сосуда по сложным запутанным траекториям. Удары их о стенки сосуда беспорядочны и случайны. Но если число молекул огромно, то в распределении давления газа по стенкам сосуда, создаваемого ударами молекул, отсутствует беспорядочность и случайность; оно вполне закономерно (закон Паскаля). Именно массовость случайных явлений порождает определенную закономерность. При значительном уменьшении числа молекул газа в сосуде случайные отклонения от закономерности становятся более ощутимыми.

ПРИМЕР 3. Поведение протонов, электронов и других микрочастиц еще более запутано. Ведь атомы кристалла расположены так, что образуется естественная система щелей постоянных размеров с постоянными промежутками между щелями. Предположим, что удалось закрыть все щели, кроме двух соседних. Заставим электроны вылетать из электронной пушки по направлению к щелям с одинаковой скоростью поодиночке. По другую сторону щелей поставим фотопластинку. Для большого числа электронов прослеживается удивительная закономерность: все частицы, проникающие через две щели, никогда не попадают в промежутки между площадками фотопластинок. Это означает, что существуют специфические закономерности, управляющие однородными массами случайных событий.

Значит, случайные события тоже подчиняются своим законам и правилам. Основной прием изучения случайного явления заключается в разработке его теоретической модели - системы суждений и заключений, позволяющих определенным образом предсказать поведение анализируемого объекта. Так возникает и развивается новая математика случайного – теория вероятности. Зная ее законы, можно добиваться целенаправленного изменения хода случайных явлений, контролировать и влиять на их проявление. В случайные моменты времени поступают заказы на железнодорожные билеты, вызовы скрой помощи, телефонные вызовы клиентов. Число этих явлений имеет большую амплитуду колебаний, случайно и хаотично, но, все - таки, подчинятся некоторым закономерностям.

Совершенно очевидно, что в природе нет ни одного физического явления, в котором не присутствовали бы в той или иной степени элементы случайности. Как бы точно и подробно ни были фиксированы условия опыта, невозможно достигнуть того, чтобы при повторении опыта результаты полностью и в точности совпадали.

Случайные отклонения неизбежно сопутствуют любому закономерному явлению. Тем не менее, в ряде практических задач этими случайными элементами можно пренебречь, рассматривая вместо реального явления, его упрощённую схему «модель» и предполагая, что в данных условиях опыта явление протекает вполне определённым образом. В физике, да и в других науках о материальном мире, известны случаи открытий, сделанных учеными на кончике пера, т.е. сначала рассчитанных математически, а потом подтвержденных наблюдениями и опытами. Именно так, теоретически, исследовал броуновское движение А.Эйнштейн. (1905 год). Однако существует ряд задач, где интересующий нас исход опыта зависит от столь большого числа факторов, что практически невозможно зарегистрировать и учесть все эти факторы при проведении серии опытов.

Стохастическим называют опыт, если заранее нельзя предугадать его результаты. Результаты (исходы) такого опыта называются событиями.

Пример: выбрасывается игральный кубик (опыт);

выпадает двойка (событие).

Событие, которое обязательно произойдет в результате испытания, называется достоверным, а которое не может произойти, - невозможным.

Пример: В мешке лежат три картофелины.

Опыт – изъятие овоща из мешка.

Достоверное событие – изъятие картофелины.

Невозможное событие – изъятие кабачка.

Несовместимыми (несовместными) называют события, если наступление одного из них исключает наступление других.

Пример: 1) В результате одного выбрасывания выпадает

орел (событие А) или решка (событие В).

События А и В - несовместны.

2) В результате двух выбрасываний выпадает

орел (событие А) или решка (событие В).

События А и В - совместны.

Выпадение орла в первый раз не исключает выпадение решки во второй.

Полной группой событий называется множество всех событий рассматриваемого опыта, одно из которых обязательно произойдет, а любые два других несовместны. События образующие полную группу называют элементарными.

Пример: 1) Опыт – один раз выбрасывается монета. Элементарные события: выпадение орла и выпадение решки образуют полную группу.



Случайные события можно различным способом сочетать друг с другом. При этом образуются новые случайные события и закономерности, формулы и схемы, характеризующие операции над случайными вероятностями.

«Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая когда-нибудь не окажется применимо к явлениям действительного мира» (Н.Лобачевский).

Если появление одного события в единичном испытании исключает появление другого, такие события называются несовместными. Если при рассмотрении группы событий может произойти только одно из них, то его называют единственно возможным. Наибольшее внимание математиков в течение нескольких столетий привлекают равновозможные события (выпадение одной из граней кубика).

Примеры: а) при подбрасывании игральной кости пространство элементарных событий П состоит из шести точек: П={1,2,3,4,5,6};

б) подбрасываем монету два раза подряд, тогда П={ГГ, ГР, РГ, РР}, где Г - «герб», Р - «решетка» и общее число исходов (мощность П) |П| = 4;

в) подбрасываем монету до первого появления «герба», тогда П={Г, РГ, РРГ, РРРГ,...}.

В этом случае П называется дискретным пространством элементарных событий.

Обычно интересуются не тем, какой конкретно исход имеет место в результате испытания, а тем, принадлежит ли исход тому или иному подмножеству всех исходов.

Все те подмножества А, для которых по условиям эксперимента возможен ответ одного из двух типов: «исход принадлежит А» или «исход не принадлежит А», будем называть событиями.

В примере б) множество А={ГГ, ГР, РГ} является событием, состоящим в том, что выпадает по крайней мере один «герб».

Событие А состоит из трех элементарных исходов пространства П, поэтому |А| = 3.

Под случайным явлением понимают явление, предсказать исход которого невозможно

(при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта оно протекает каждый раз несколько по-иному).



выпадение герба при подбрасывании монеты,

выигрыш по купленному лотерейному билету,

результат измерения какой-либо величины, например, длительность работы телевизора

СОБЫТИЕ - явление, которое происходит в результате осуществления какого-либо определенного комплекса условий.

ПРИМЕР. Бросим шестигранный игральный кубик.

Определим события:

А {выпадение шестерки};

В {выпало число очков, кратное 2};

С {выпало более 3 очков}.

Эксперимент (опыт) заключается в наблюдении за объектами или явлениями в строго определенных условиях и измерении значений заранее определенных признаков этих объектов (явлений)

ПРИМЕРЫ.

сдача экзамена,

выстрел из винтовки,

бросание игрального кубика,

химический эксперимент,

подбрасывание монеты,

прогноз погоды.

Однако, очень часто в опытах ожидаемое события не появляется вовсе.

Событие, состоящее в не появлении этого выбранного события есть противоположное событие (обозначается ).

Определим противоположные события:

А {выпадение шестерки} - {невыпадение шестерки};

В {выпало число очков, кратное 2} -

следующая страница >>