microbik.ru
  1 2 3 4 5
{выпало число очков, некратное 2};

С {выпало более 3 очков} -{выпало менее 2 очков}.

Попробуем все элементарные события независимо от их природы обозвать точками пространства элементарных событий

Интересующие нас события (как и всякие множества) могут находиться в определенных взаимоотношениях друг с другом.

События А и В имеют 6 общих точек, они совместны.



На рисунке 2 события А и В несовместны, у них нет общих точек. У несовместных событий А и В на рисунке 2 общих точек нет поэтому пересечение таких событий является невозможным, так как не имеет общих событий, те составляет пустое множество элементарных событий.

Шесть общих точек у событий А и В на рисунке 1 выделим в самостоятельное событие и назовем его пересечением событий А и В.. Для обозначения будем использовать символ, пересечение событий А и В запишем . В том же (а вовсе не арифметическом) смысле говорят вместо пересечения произведение событий и обозначают.

Определение. Пересечением или произведение событий А и В называется событие (иначе ), состоящее из тех и только тех элементарных событий, которые являются общими для А и В.

Например, если по мишени производится три выстрела, и рассматриваются события:

В1 - промах при первом выстреле,

В2 - промах при втором выстреле,

ВЗ - промах при третьем выстреле,

то событие состоит в том, что в мишень не будет ни одного попадания.

Для наглядного изображения событий используют диаграммы Эйлера. На каждой такой диаграмме прямоугольником изображают множество всех элементарных событий

Все другие события изображают внутри прямоугольника в виде некоторой его части, ограниченной замкнутой линией. Обычно такие события изображают окружности или овалы внутри прямоугольника.

Большое количество примеров по изображению действий над событий при помощи кругов Эйлера можно найти в рабочей тетради по теории вероятности и статистике для 8 класса (автор О.А.Багишева).



Вероятность совместного появления (пересечения) независимых событий равна произведению вероятностей появления каждого события в отдельности. Р (А

Пример. Из колоды, содержащей 36 карт, наугад вытягивается одна карта. Событие А состоит в том, что это «пика», а событие В – в том, что это «дама».

Решение. В колоде 9 карт «пики», поэтому Р(А)= .

Вероятность вытянуть из колоды одну из имеющихся четырех «дам»

Р(В) = .

Событие вытянуть из колоды даму «пик» есть пересечение событий А и В .

Так как «дама пик» в колоде одна, то Р (А.

Имеет место равенство Р (А.

Ответ:.

Определение. Если из двух событий А и В осуществилось хотя бы одно – более подробно: или А, или В, или сразу и А и В, то произошло событие, называемое объединением событий А и В (или суммой А и В). Здесь союз «или» понимается в смысле «неразделительного или», т.е. не исключается, что х может принадлежать и А и В.

Объединение (сумма) событий А и В состоит из всех точек, составляющих событие А, и из всех точек, составляющих событие В; точки , общие для событий А и В считаются только один раз. Применятся три формы обозначения: А + В; А или В.



ПРИМЕРЫ:

На рисунке 1 событие А состоит из 8 точек, событие В из 13 точек, а событие: состоит из 16 точек. На рисунке 2 А и В – несовместные события. В этом случае событие элементарных событий, определяющих отдельно А и В (общих событий нет), т. е. из 16 точек.

В урне находятся красные, белые и черные шары. Вынимается один шар. Возможные события: А – «вынут красный шар», В – «вынут белый шар», С – « вынут черный шар». Тогда А+В означает, что произошло событие «вынут не черный шар», В+С – «вынут не красный шар».

Примеры: пусть А - идет дождь, а В - идет снег, то (А + В) - либо дождь, либо снег, либо дождь со снегом, т. е. осадки;

А - пошли на дискотеку; В - пошли в библиотеку, то А + В - пошли либо на дискотеку, либо в библиотеку, т. е. вышли из дома.

Дождь ли пошел, падает ли снег, либо то и другое, характерное для нынешней зимы, сыпется сразу, означает непогоду или ненастье.

Есть в алгебре событий и знак равенства между событиями (А= В). У этого знака равенства миссия, отличная от арифметической, он информирует о том, что равные события являются набором одних и тех же элементарных событий.

ПРИМЕР.

1 . Брошены два игральных кубика.

События:

Событие А – сумма выпавших очков не более трех(2+1;1+2;1+1),

Событие В произведение выпавших очков не более двух (2*1,1*2,1*1). Сопоставляя эти события, делаем вывод: А=В.

Алгебра событий является плацдармом для успешного решения задач, связанных с вычислением вероятности задуманного события, а подготовка такого плацдарма напоминает криптографию: поиск зашифрованного текста.

Задача 1.Отец играет с сыном в теннис до первого поражения сына. Каждая игра состоит из одного сэта. Событие - выигрыш сыном i – того сэта (i=1,2,3,…), Событие - проигрыш сыном i – того сэта (i=1,2,3,…).

Выразить через и следующие события:

В – состоялась только одна игра;

С - состоялось только три игры;

D – состоялось не более трех игр.

Решение: 1) В – состоялась только одна игра; В =;

2) С - состоялось только три игры; ;

3) D – состоялось не более трех игр

(не более трех игр означает: или только одна, проигранная сыном;

или две: выигранная первая и проигранная вторая;

или три: выигранная первая и вторая и проиграна третья).

Задача 2. Предполагается 5 бросков мяча в баскетбольную корзину. Пусть событие означают: - ни одного попадания в корзину; – одно попадание в корзину и т.д.

Что означают события:

?

Решение:1) не более двух попаданий;

не более трех попаданий.

Задача 3. События: А – хотя бы одно из четырех проверяемых изделий дефектно; В - все изделия доброкачественные; С – дефектных изделий среди них не менее двух. Что означают события:; ?

Описать события А, В, С?

Решение: 1) ; : все изделия доброкачественные или хотя бы одно из четырех проверяемых изделий дефектно;

2); - невозможное событие, так как если все изделия доброкачественные то среди них из них нет дефектных;

3) А =В, В= А- дефектно изделие одно или С – дефектных изделий нет ни одного.

Задача 4. В карточке спортлото наугад зачеркнуты два числа. Событие А – зачеркнуто хотя бы одно простое число, событие В – зачеркнуто хотяч бы одно четное число. Что означают события:;

; ?

Решение.1) - осуществились оба события:, т.е. из двух зачеркнутых чисел хотя бы одно простое и хотя бы одно четное, например,13 и 4, 13 и 2 (оба простые, одно из них четное), 34 и 2 (оба четные, из них одно простое)



2) - наступило хотя бы одно из событий А и В, т. е. среди двух зачеркнутых чисел имеется хотя бы одно простое, или хотя бы одно четное число, или хотя бы одно из них простое и хотя бы одно четное (3 и 41,10 и 32, 2 и 40 и т.д.)



3) - осуществилось событие А, противоположное событию А (А - ни одного простого числа) и событие В (15 и 20, 4 и 6 и т.д.)



4) - ни одного простого числа и ни одного четного (15 и 21; и т.д.)



Примечание: Противоположное событие относительно некоторого выбранного события А – событие, состоящее в не появлении этого выбранного события (обозначается ).



<< предыдущая страница   следующая страница >>