microbik.ru
  1 ... 2 3 4 5


Но такому событию благоприятствуют (m + k - с) элементарных событий.




Значит, Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(С)

Р(А +В) =

Вероятность суммы двух совместимых событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного осуществления. С помощью этого правила можно решить следующие задачи.

Подбрасываем две монеты. Какова вероятность выпадения хотя бы одного герба?

Решение. Обозначим события

А – появление герба при подбрасывания первой монеты, Р(А) =

В – появление герба при подбрасывании второй монеты Р(В) = .

Р(АВ) =

Так как А и В – совместимые события, то

Р(С) =Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ).

Р(С) = + - = . Ответ: .

Бросают 2 игральные кости. Какова вероятность появления хотя бы одной шестерки?

Решение. Обозначим события:

А – появление шестерки при бросании первой кости, Р(А) =

В – появление шестерки при бросании второй кости, Р(В) =

Р(АВ) =

Требуется определить вероятность события С = А +В.

Так как А и В – совместимые события, то

Р(С) =Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ).

Р(С) = + - =.

Ответ: .

Условные вероятности.

Перед соревнованием на личное первенство по спортивной гимнастике, каждый участник мечтал занять первое место. Но результаты предыдущих выступлений спортсменов показывали примерную вероятность успеха каждого спортсмена. На рисунке каждый гимнаст представлен кружком (спортивное общество «Спартак») или квадратом (спортивное общество «ЦСКА»). Буквой «У» отмечены учащиеся средних школ.

Пусть событие А – первое место занял ученик.

Событие В – первое место занял гимнаст «ЦСКА».

Какова вероятность того, что первое место займет ученик?



Р (А) = 0,12 + 0,11 + 0,10 + 0,13 = 0,46

Р (В) = 0,12 + 0,11 + 0,10 + 0,14 + 0,13 = 0,60

Если первое место занял ученик (событие А) из общества «ЦСКА» (событие В) , то произошло пересечение событий А и В

Р( = 0,12 + 0,11 + 0,10 = 0,33.

Допустим, что « Спартак» по какой-то причине вышел из игры. Это равносильно тому, что произошло событие В.

Изменится ли вероятность того события, что первое место займет ученик?

Новая вероятность вычисляется следующим образом:



Вывод: вероятность события «победу одержал ученик» изменилась.

Такую вероятность события, вычисленную с учетом условия, что прежде произошло событие В, называют условной вероятностью события А ( при гипотезе В) и обозначают Р(А/В).

Р (А/В) =

Определение. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого при условии, что первое произошло.

Р(АВ) = Р(В) Р( А/В) = Р(А) Р(В/А)

Задача. Из ящика, в котором было а белых и b черных шаров, последовательно вынимаются два шара. Какова вероятность того, что оба они белые?

Обозначим события :

А – «первый шар белый»,

В – «второй шар белый» Требуется найти Р(АВ).

Понятно, что Р(А) =

Если событие А произошло, то среди оставшихся а + b – 1 шаров только а - 1 белых, поэтому вероятность того, что второй шар белый

Р(В/А) = Значит, вероятность того, что оба шара белых Р(АВ) = Ответ:

Задача. Студент пришел на экзамен, зная лишь 20 из 25 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент знает все эти вопросы.

Решение. Вероятность того, что первый вопрос, заданный студенту, выбран из числа тех, которые он знает, равна = .

Условная вероятность того, что и второй вопрос из категории знакомых, равна

Условная вероятность везения на третьем вопросе при условии, что первые два вопроса были известны студенту, равна.

По теореме умножения искомая вероятность равна:

Ответ: 0,5

Вероятность произведения независимых событий.

Определение. Событие В называется независимым от А, если его вероятность не зависит от того, произошло или не произошло событие А.

Пример 1. Пусть брошены три уравновешенные монеты. Определим события следующим образом:

: монеты 1 и 2 упали одной и той же стороной;

: монеты 2 и 3 упали одной и той же стороной;

: монеты 1 и 3 упали одной и той же стороной;

Легко проверить, что любые два события из этого набора независимы. Все же три в совокупности зависимы, ибо зная, например, что события произошли, мы знаем точно, что также произошло .

Несколько событий называются независимыми в совокупности, если каждое из них и любая комбинация остальных событий есть события независимые. Несколько событий называются попарно независимыми, если любые два из этих событий независимы.

Требование независимости в совокупности сильнее требования попарной независимости. Это значит, что несколько событий могут являться попарно независимыми, но при этом они не будут независимыми в совокупности. Если же несколько событий независимы в совокупности, то из этого следует их попарная независимость.

Для независимых событий справедливо следующее правило:

Вероятность произведения двух независимых событий равно произведению вероятностей этих событий. Р (АВ) = Р(А)Р(В).

С помощью этого правила можно решить следующие задачи.

Бросают две игральные кости. Какова вероятность появления на первой кости нечетного числа очков и на второй кости пяти очков?

Решение: Обозначим события:

А – появление нечетного числа очков при бросании первой кости,

Р(А) = , Р(В) = ,

В – появление пяти очков при бросании второй кости, Р(В) = .

События Аи В совместимы и независимы, поэтому Р (АВ) = Р(А)Р(В).

Р (АВ) = = . Ответ:

Подбрасывают 3 монеты. Какова вероятность выпадения гербов на всех трех монетах?

Решение: Обозначим события:

А – появление герба при бросании первой монеты, Р(А) = ,

В - появление герба при бросании второй монеты, Р(В) = ,

С - появление герба при бросании третьей монеты, Р(С) = .

События А, В и С совместимы и независимы, поэтому Р (АВС) = Р(А)Р(В) Р(С).

Р (АВС) = = . Ответ:.

Методические предложения: из опыта работы

Знакомство с вероятностно-статистическим материалом целесообразно начинать с трех важнейших понятий, предваряющих определение вероятности: случайный опыт, случайное событие, элементарный исход. Со случайными событиями знакомство можно начинать уже в 5 классе, так как в этом возрасте закладываются основы вероятностной интуиции, позволяющие впоследствии усвоить формальные методы вычисления вероятностей. В этот период ученики должны научиться выделять невозможные и достоверные события.

В 6-7 классах появляется понятие случайного эксперимента, в контексте которого рассматривается любое случайное событие, формируется представление о его возможных исходах. Особое внимание следует уделить обсуждению «элементарности» исходов, поскольку непонимание этого признака повлечет дальше неизбежные ошибки при вычислении вероятностей. Принципиальным моментом этого раздела является переход от словесного описания событий и экспериментов к теоретико-множественному. На этом этапе ученики должны уметь:

перечислять все возможные (в случае их большого количества – некоторые) исходы опыта, используя для этого их естественные обозначения;

строить по словесному описанию события соответсвующее множество благоприятных исходов, используя при этом графы и «деревья» исходов;

при рассмотрении примеров случайных опытов полезно рассматривать различные способы кодирования элементарных исходов, обсуждать, какие из них наиболее удобны и экономичны

Классический и геометрический подход к определению вероятности должны рассматриваться как частные случаи вероятностных моделей, в которых это число удается вычислить (предсказать) без проведения опыта. Вероятность появляется как универсальная количественная мера возможности осуществления случайных событий, а все частные формулы для ее подсчета служат лишь для вычисления этой меры в определенном круге ситуаций.

При изучении этого раздела полезными оказываются уроки с применением мультимедийных средств, электронные лаборатории, позволяющие в считанные секунды смоделировать тысячи случайных экспериментов, наблюдая при этом за динамикой изменения частот и их приближением к вероятностям случайных исходов и событий.

Контролирующий тест. Система электронного контроля

Как называется событие в наступление которого не сомневаются?

а) Достоверное. б)Случайное. в)Истинное. г )Обязательное.

Как называется событие наступление которого может состояться, а может и нет? а) Достоверное . б)Случайное. в)Истинное. г )Обязательное.

д )Переменное

Чему равна вероятность достоверного события?

а) P(A)=1. б) P(A)=0 . в)P(A)=2. г )P(A)=1/2

Какое из событий можно назвать достоверным?

а) А.С. Пушкин написал «Два капитана».

б) За контрольную по алгебре я получу 5.

в) Завтра будет дождь. г )За понедельником будет вторник

Чему равна степень неопределенности достоверного события?

а) 2. б)0. в)1. г )½

Продолжите фразу: «неопределенность знаний о некотором событии – это…»а) Это полное незнание. б) Это частичное незнание.

в) Это количество возможных результатов события г ) Это бред.

Из следующих событий выбрать случайное

а) При бросании монеты выпадет орел. б)В неделе семь дней. в)Каждый ученик пятого класса изучает математику.

г )При бросании игрального кубика выпадет 7 очков

Чему равна вероятность случайного события?

а) P(A)=1. б)P(A)=0. в)P(A)>0. г )0


Определить число возможных исходов: подбрасывание одновременно монеты и кубика

а) 6 . б) 9 . в)24 . г)12

Из указанных примеров выбрать событие с однозначным исходом

а) Выигрыш в спортлото. б)При подбрасывании кубика выпадают разные грани. в)Результаты спортивных игр. г )Смена дня и ночи



<< предыдущая страница   следующая страница >>