microbik.ru
1
§2. Задания с развернутым ответом повышенного уровня сложности С2.

Критерии проверки и оценки решений.

Задача 1.
В правильной шестиугольной призме A F1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB1 и BE1.




Решение №1.

Так как основание призмы – правильный шестиугольник, то . Так как призма прямая, то . Поэтому, т.е. есть проекция наклонной на плоскость . Диагонали в квадрате перпендикулярны между собой. По теореме о трех перпендикулярах наклонная и прямая , перпендикулярны между собой, т.е. искомый угол равен 90о. Ответ. 90°.

Решение №2. Через точку B проведем прямую, параллельную прямой AB1, и обозначим G1 ее точку пересечения с прямой A1B1. Тогда по есть параллелограмм, а искомый угол равен углу E1BG1.

Вычислим стороны треугольника E1BG1

1) .

2) В прямоугольном треугольнике BEE1 катеты BE и EE1 равны соответственно 2 и 1. Следовательно, гипотенуза BE1 равна .

3) Так как правильный шестиугольник, то и . Следовательно, . Поэтому . По теореме, обратной к теореме Пифагора, получаем, что угол E1BG1 равен 90о. Ответ. 90°.

Решение № 3.

Пусть точка А – начало прямоугольной системы координат, АВ – единичный отрезок по оси Ox, а и – направления осей Oy и Oz. Тогда . Так как в нижнем основании лежит правильный шестиугольник, то и . Поэтому , , и .

Ответ: .

Комментарий.

На втором месте в задачах с развернутым ответом разработчики КИМ ЕГЭ-2010 сознательно поставили именно геометрическую, и именно стереометрическую задачу. Положение дел, сложившееся с преподаванием геометрии в российских школах крайне тяжелое, а положение стереометрии, мягко говоря, катастрофическое.

Среди множества различных причин выделим отсутствие на протяжении многих лет геометрической (стереометрической) составляющей в получении выпускниками аттестационной оценки за курс математики средней школы. Формат КИМ ЕГЭ предыдущих лет, когда аттестационная оценка выставлялась только по разделу «Алгебра и начала математического анализа», закрепил дополнительность, определенную необязательность изучения стереометрии в старшей школе. Во многих выпускных классах различных регионов в последние несколько лет учащиеся фактически переставали изучать стереометрию, особенно во втором полугодии 11-го класса.

Восстанавливать нормальное положение дел довольно сложно. Получение оценки на ЕГЭ-2010, как оценки именно по математике, а не только по алгебре и началам математического анализа, является, очевидно, первым необходимым шагом.

Следующий шаг состоит в позиционировании стереометрической задачи, как задачи для большинства нормально успевающих учеников, а не только для избранных. Реализация этого положения состоит в том, что в КИМ предлагается задача по стереометрии с минимальными техническими вычислениями, и располагается она на одном из первых мест среди задач с развернутым ответом.

При разработке критериев оценивания выполнения заданий С2 разработчики существенно ослабили (по сравнению с привычными «советскими» временами и традиционными математическими стандартами) условия получения максимального балла. Достаточными являются верное изображение, описание, констатация положения искомого угла и верно проведенное вычисление. Не являются необходимыми точные обоснования того, почему именно та или иная прямая является, например, проекцией другой прямой, или же что она параллельна (перпендикулярна) другой прямой или плоскости.

Подчеркнем, что никто не против присутствия этих обоснований (например, они в минимальном, но достаточно полном объеме приведены выше в решениях №№1-3). При наличии таких обоснований (и верных вычислений), разумеется, следует выставлять 2 балла. Но те же 2 балла, по мнению разработчиков, следует выставлять и в тех случаях, когда в решении учащегося лишь продемонстрирована верная конструкция. Дело в том, что, к сожалению, даже такое условие для нынешней российской школы является весьма ограничительным, и сама постановка вопроса о грамотной обоснованности такого построения – есть вещь экзотическая для многих выпускников (и некоторых учителей). Грубо говоря, многие достаточно хорошие выпускники за время своего обучения вполне могли просто отвыкнуть (или не привыкнуть) приводить необходимые доказательства верности своих конструкций: они их «видят», и по школьной своей привычке считают это достаточным.

Критерии оценивания выполнения задания С2

Баллы

Обоснованно получен правильный ответ

2

Способ нахождения искомого угла верен, но получен неверный ответ или решение не закончено

1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0



В качестве еще одного примера задания уровня сложности С2 рассмотрим задачу, в которой требуется найти угол между плоскостями, а не угол между скрещивающимися прямыми.

Задача 2.








Комментарий.

Обратим внимание на то, что при более грамотном изложении решения полагалось бы сослаться на равнобедренность треугольников, совпадение в них медианы с высотой, признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорему Пифагора и, может быть, еще на что-нибудь.

Однако, если все эти условия включить в качестве необходимых для получения максимального балла, то, во-первых, это будет большой неожиданностью для очень многих, даже весьма успевающих, школьников, во-вторых, приведет к резкому снижению интереса к выполнению стереометрических заданий и, наконец, существенно снизит общую оценку на ЕГЭ-2010 за выполнение задания С2.