microbik.ru
1
ИВС и АСУТП

16. Формы аналитического описания сигналов.

Возможна форма представления сигналов с помощью спектров. Рассмотрим ее для непрерывных одномерных сигналов общего вида x() ( - некоторый аргумент, в частном случае время t).

При этом сигнал на заданном интервале его определения [min, max] рассматривается как совокупность элементарных сигналов (), умноженных на коэффициенты c и составляющих систему функций {()} определенного типа:

. (3.1)

При этом система функций {()} называется базисной, а представление сигнала в виде (3.1) - его разложением по системе базисных функций или обобщенным рядом (многочленом). Если сигнал x() является комплексным, то и коэффициенты c и система базисных функций {()} также будут являться комплексными.

Если система функций выбрана, то сигнал полностью характеризуется набором (вектором) спектральных коэффициентов {c} - его спектром.

В общем случае ряд (3.1) для непрерывных сигналов содержит бесконечное число членов. При практических расчетах такой ряд обычно ограничивают (усекают). В этом случае представление сигнала будет приближенным

(3.2)

и имеет место аппроксимация сигнала x() конечным рядом (3.2).

Выбирая приближенное описание сигнала, естественно, стремятся к тому, чтобы оно, в определенном смысле, наилучшим образом соответствовало оригиналу. При этом каждый раз необходимо формулировать критерий приближения, так как в выражение «наилучшее приближение» можно вкладывать различный смысл.

Приведем наиболее широко применяемые критерии приближения (сходимости).


  1. Можно потребовать, чтобы максимальное значение погрешности аппроксимации

(3.3)

было минимальным на заданном интервале определения функции x(). Этот вид аппроксимации, при котором минимизируется величина , называется равномерным приближением.

  1. В качестве критерия приближения можно выбрать среднюю погрешность

, (3.4)

где T = max - min.

Такая аппроксимация называется приближением в среднем.

  1. Если в качестве меры представления принимается минимум среднеквадратичной погрешности

, (3.5)

то такой вид аппроксимации называется приближением в среднеквадратическом.

Существуют и другие критерии приближения. В большинстве технических применений преимущественное распространение получил среднеквадратический критерий, учитывающий интегральный эффект - ошибку, накопленную на всем интервале определения сигнала, и в большинстве случаев лучше соответствующий физическому смыслу исследуемых явлений. Кроме того, что тоже немаловажно, теория, основанная на этом критерии, имеет наиболее простой и удобный для практики вид.

Все рассмотренные критерии приближения взаимосвязаны. Если ряд (3.2) сходится к x() равномерно, то он тем более сходится среднеквадратически. Из среднеквадратической сходимости вытекает сходимость в среднем.

Для того, чтобы разложение сигнала в форме (3.1) было возможным, система базисных функций (СБФ) должна удовлетворять ряду требований:

  1. Быть упорядоченной системой линейно независимых функций.

  2. Быть полной, для того, чтобы по выбранной системе функций можно было разложить любой сигнал из заданного множества.

  3. Число линейно независимых функций в полной системе должно быть равным размерности рассматриваемого множества сигналов, т.е. количеству чисел, с помощью которых можно выбрать любой сигнал из этого множества. Когда рассматривается множество непрерывных сигналов произвольной формы, то их размерность бесконечно велика и в этом случае СБФ должна содержать также бесконечно большое число линейно независимых функций.

Наиболее удобно производить разложение сигналов, если базисная система {()} является ортогональной на интервале определения сигнала [min,max]. Условие ортогональности двух различных базисных функций заключается в равенстве нулю их взаимной мощности:

Q, (3.6)

где символ Кронекера и мощность -й базисной функции

(3.7)

Q. (3.8)

Интервал определения ортогональных базисных функций называется также интервалом ортогональности.

Если система ортогональных функций полная, то к ней нельзя добавить ни одной новой функции, которая была бы ортогональна одновременно ко всем другим функциям данной системы. Известно, что любую систему линейно независимых функций можно ортогонализировать, т.е. преобразовать в ортогональную систему.

Представление сигналов с помощью ортогональных СБФ обладает тем важным свойством, что повышение порядка аппроксимирующего многочлена всегда улучшает аппроксимацию по сравнению с представлением сигналов неортогональными СБФ. Если при N многочлен [см. (3.2)] сходится к , то совпадает с в рамках выбранного критерия приближения.

Система ортогональных функций называется также нормированной, если мощности всех базисных функций равны единице (в этом случае СБФ называется еще ортонормированной):

. (3.9)

Любую систему ортогональных функций можно нормировать, если разделить каждую базисную функцию на ее мощность.

При представлении сигналов в форме (3.2) необходимо решать вопрос о способе вычисления спектральных коэффициентов. Он во многом будет зависеть от используемого метода аппроксимации (вида принятого критерия сходимости). В случае применения среднеквадратического критерия коэффициенты c, выбирают таким образом, чтобы среднеквадратическая ошибка  была минимальной. Это достигается с помощью обобщенной формулы Фурье расчета спектра:

[1/(Q)]·. (3.10)

Очевидно, что среднеквадратическая аппроксимация имеет смысл тогда, когда мощность сигнала и функций () на интервале аппроксимации имеет конечное значение. В случае комплексных базисных систем в формуле (3.10) расчета спектра должна стоять комплексно-сопряженная функция .

Увеличивая неограниченно число членов в аппроксимирующем многочлене с коэффициентами в форме (3.10), получим в пределе равенство =, выполняемое при . При этом аппроксимирующий многочлен примет вид бесконечного ряда, называемого обобщенным рядом Фурье.

В спектральном представлении (3.1) и в формуле расчета спектра (3.10) базисные функции являются функциями двух переменных и , а спектральные коэффициенты - функциями переменной . Это приводит к симметрии выражений (3.1) и (3.10), называемых соответственно прямым и обратным преобразованием Фурье, из которой следует математическое равноправие функций и с как различных форм представления сигнала. Для рядов Фурье справедливо равенство Парсеваля [3]:

Q. (3.11)

Так как правая часть этого равенства определяет мощность сигнала при его представлении с помощью спектров, а левая - его мощность при записи в виде математической функции, то равенство Парсеваля отражает эквивалентность двух форм представления сигналов с физической (энергетической) точки зрения. Выполнение равенства Парсеваля свидетельствует также о полноте ортогональной СБФ.

Рассмотрим представление с помощью спектров дискретных сигналов. Решетчатая функция x(i), i  [0, N] записывается в виде обобщенного дискретного ряда

(3.12)

по любым полным и ортогональным системам решетчатых базисных функций {(i)}. При этом моменты отсчетов базисных функций должны совпадать с моментами отсчетов раскладываемых сигналов.

Условия ортогональности и нормированности дискретных СБФ определяются уравнениями

Q; (3.13)

Q, (3.14)

а равенство Парсеваля для дискретных сигналов имеет вид

Q. (3.15)

Для дискретных функций, удовлетворяющих условию , справедлива следующая формула для определения спектра:

[1/(Q)]·. (3.16)

Формулы (3.12) и (3.16) представляют собой дискретные преобразования Фурье.

  1. Системы базисных функций.

Один и тот же сигнал может быть разложен по различным СБФ или, что одно и то же, рассмотрен в различных системах координат. При этом внутренние закономерности сигналов не могут нарушаться при изменении системы координат. Однако спектральному анализу в различных СБФ соответствует различная физическая интерпретация и, что особенно важно, различная практическая реализация. Так, например, технические характеристики (точность, быстродействие, затраты памяти и оборудования) цифровых фильтров, построенных в спектральной области, зависят от применяемых СБФ и для различных систем существенно различны. В соответствии с этим, при решении практических задач целесообразно подбирать наиболее подходящие СБФ. Выбор базиса во многом обусловлен спецификой решаемых задач и требованиями, предъявляемыми при их решении.

Полных и ортогональных СБФ существует бесчисленное множество. Дадим краткий обзор некоторых известных СБФ, применяемых в настоящее время в теории и практике обработки сигналов.

Системы единичных функций. Два прямоугольных импульса, не перекрывающие друг друга, ортогональны. Поэтому система прямоугольных импульсов (рис. 3.6), приставленных друг к другу и заполняющих интервал [t0, tN], будет ортогональной системой.






Рис. 3.6


Такая система полна только для подмножества ступенчатых сигналов с шириной ступени t, где t - длительность импульсов, N = T / t - число импульсов на рассматриваемом интервале. Система таких функций будет полна для любого непрерывного сигнала при t  0 и N . В этом случае она превращается в систему единичных импульсов {u(t)}, имеющих единичную амплитуду и бесконечно малую длительность, положение которых определяется сдвигом по оси t = t при t  0, . Система функций {u(t)} является полной ортогональной системой.

Из нее дискретизацией можно получить систему дискретных единичных функций {u(i)}, каждая из которых имеет вид единичного импульса бесконечно малой длительности и аналитически записывается в виде

(3.17)




Такая система определена на целочисленном интервале [0, N). Для N=8 она приведена на рис. 3.7.

Рис. 3.7
Система {u(i)} в форме (3.17) является ненормированной, и ее норма (корень квадратный из мощности)

. (3.18)

Эта система представляет собой полную СБФ, служащую для разложения дискретных сигналов произвольной формы.

Система дискретных единичных функций обладает тем свойством, что ее спектральный коэффициент с номером совпадает со значением сигнала в точке i = его интервала определения, т.е.

ca = x(). (3.19)

Подобным свойством обладает и непрерывная система {u(t)}. Это свойство единичной системы позволяет проиллюстрировать взаимосвязь между представлением сигнала в области аргументов и спектральной области. В соответствии с ним представление в области аргумента можно рассматривать как частный случай спектрального представления в единичном базисе. Это позволяет получать результаты в области аргументов, используя более общие результаты в спектральной области.

Системы тригонометрических базисных функций. Система тригонометрических функций {cos(k) , sin(k)} = { 1, sin(), cos(), sin(2), cos(2), ...} является полной ортогональной системой с интервалом ортогональности [-, ], либо [0, 2]. Система является периодической с периодом 2 и ненормированной (норма равна 1/). Проведя нормирование на ее основе, можно получить полную ортонормированную систему { 1, sin(), cos(), sin(2), cos(2), ...}.

Дискретный аналог этой СБФ - полная ортонормированная система дискретных тригонометрический функций

определенная на интервале [-N/2, N/2) или [0, N).

В качестве примера на рис.3.8 приведена система из восьми функций с интервалом определения [-4, 4).




Рис. 3.8

Системы комплексных экспоненциальных функций. Полной ортогональной системой на интервале [-, ] или любом другом интервале длительностью 2 является система комплексных экспоненциальных функций . Это нормированная периодическая система с периодом 2. Для нее характерно свойство мультипликативности, заключается в том, что произведение двух любых ее функций является также функцией этой системы:

, (3.20)

где l = k + m.

Дискретный аналог этой системы - система дискретных комплексных экспоненциальных функций , обладающая свойствами полноты, нормированности, ортогональности и мультипликативности на интервале, содержащим N отсчетов. Зависимости (3.12) и (3.16) ряда и коэффициентов Фурье при использовании в качестве базиса системы дискретных комплексных экспоненциальных функций называются дискретными преобразованиями Фурье[3]:

; (3.21)

, (3.22)

где - система комплексно-сопряженных экспоненциальных функций, определенных на интервале в N точках.

Спектр c в базисе является комплексной функцией. Системы комплексных экспоненциальных функций широко применяются при решении различных технических и научных задач и достаточно подробно описаны в литературе [1,2,3].

Полиномиальные базисные системы. К ним относят системы, построенные на основе ортогональных полиномов [4]. Рассмотрим две такие системы, определенные на конечных интервалах.

Полиномы Чебышева. На интервале [-1, 1] можно построить полную ортонормальную систему

, n=0,1,2,..., (3.23)

где Tn() - полиномы Чебышева, задаваемые следующим образом:

T0()=1, . (3.24)

Полиномы Чебышева обладают тем важным свойством, что из всех полиномов n-ой степени, имеющих коэффициент при n, равный единице, полином Чебышева Tn() наименее отклоняется от нуля на интервале [-1, 1]. При n3 значение Tn() можно вычислять по рекуррентной формуле

. (3.25)

Полиномы Лежандра. Нормированные и ортогональные функции , , образуют полную систему базисных функций на отрезке [-1,1]. Здесь {Pn()} - полиномы Лежандра, определяемые по формуле по формуле

(3.26)

или по рекуррентной зависимости

nPn() = (2n - 1)Pn-1() - (n - 1)Pn-2(). (3.27)

Непосредственная дискретизация непрерывных СБФ, построенных на основе ортогональных полиномов, образует системы дискретных функций с неравноотстоящими отсчетами. В этом смысле непрерывные полиномы не имеют решетчатых аналогов. Однако в классе полиномиальных функций можно построить решетчатые полиномы, используя непосредственное представление их аргумента в виде дискретной переменной. Среди таких функций конечный интервал определения имеют функции дискретных систем Чебышева, Кравчука, Шарлье и Мейкснера.

Функции систем этого класса ортогональны на интервале [0, N) и являются ненормированными. Для каждой системы известны рекуррентные соотношения, позволяющие строить аналитические описания функций при различных значениях номера функции и числа отсчетов N. Данные аналитические описания можно представить в форме обобщенных степенных полиномов

, (3.28)

где ak - коэффициенты, зависящие от конкретного типа системы.

От типа системы зависят и нормы базисных функций, поскольку эти системы не являются нормированными. Например, для системы Чебышева коэффициенты и норма записываются как [3]

; (3.29)

. (3.30)

Проведя нормирование, можно построить нормированные системы дискретных полиномов. Для нормированного базиса Чебышева первые три его функции представляются следующим образом:

(3.31)

и для N=8 приведены на рис. 3.9.




Рис. 3.9
Двоично-ортогональные системы базисных функций. Под этим условным названием объединены системы функций меандрового типа Радемахера, Уолша и Хаара, интервал ортогональности которых при их построении представляется совокупностью двоично-рационального числа равных подынтервалов. Эти системы имеют важное значение для практики спектральной обработки, поскольку принимают только значения 1 (функция Радемахера и Уолша) либо 1 и 0 (функция Хаара) и легко могут быть получены с помощью цифровых устройств.

Все эти системы взаимосвязаны друг с другом и каждую из них можно получить из другой, образуя соответствующую линейную комбинацию.

Базисные функции представляют собой функции различных физических аргументов с различными интервалами ортогональности. Сигнал, в свою очередь, может быть также функцией другой переменной с интервалом определения, отличающимся от интервала ортогональности базисных функций. При спектральном представлении таких сигналов необходимо привести оси и интервал ортогональности аргумента базисных функций к оси и интервалу изменения переменной сигнала.

В общем случае, если сигнал является функцией переменной с интервалом [min, max), а функции базисной системы зависят от аргумента и ортогональны на интервале [min, max), преобразование оси в ось и совмещение интервалов можно осуществить подстановкой:

. (3.32)

Например, если [-1, 3), а [-T, 2T), то в соответствии с преобразованием (3.32)

.

Проверим записанную взаимосвязь и на граничных значениях . При = -T значение . При = 2T значение . Полученные значения совпадают с заданными. Если интервалы разносторонние, например [-, ), то, исходя из (3.32), найдем

.

Проверка подтверждает справедливость и этой формулы.

Преобразование осей и приведение интервалов необходимо учитывать при использовании спектральной формы представления сигналов.


  1. Функции Радемахера.


Для того чтобы кусочно-постоянные базисные ортогональные функции могли использоваться при обработке информации, нужно, чтобы так же, как синусоиды и косинусоиды, они принимали не только положительные, но и отрицательные значения.

Этому требованию удовлетворяют описываемые ниже кусочно-постоянные ортогональные функции Радемахера. Если принять за основу синусоидальные колебания sin(2m), где m - целое положительное число, и принять для произвольной величины , что sing()=1 при >0 и sign()=-1 при <0, то функции Радемахера

rad(m,) = sign[sin(2m)]. (3.33)

По формуле (3.33) определяются функции Радемахера для m=1,2,... Для m=0 функция Радемахера rad(0,)=1.

На рис. 3.10 показаны функции Радемахера при значениях m от 0 до 5. Они показаны при задании в интервале 0 <1.



Рис. 3.10

Вообще же эти функции являются периодическими функциями с периодом 1: rad(m,)=rad(m,). Рис. 3.10 показывает, что функции Радемахера с номерами m от 2 и выше периодичны также и на меньших интервалах, число которых зависит от величины m.

Формула (3.33) позволяет сравнить функции Радемахера с синусоидами и дает наглядное представление о процедуре их получения.

На рисунке были показаны непрерывные функции Радемахера. Дискретные функции Радемахера, для которых принято обозначение Rad(m,), получаются путем выборки их из непрерывных функций при дискретных значениях в интервале 0 <1. Например, при отсчетах, сделанных для восьми точек этого интервала, получаем значения Rad(2,), равные 1,1,-1,-1,1,1,-1,-1.

В отличие от полного набора синусоид и косинусоид, все функции Радемахера нечетные. Это препятствует аппроксимации их с помощью четных функций (они образуют, как говорят, неполный набор функций). Поэтому их применение ограничено.

Полными ортогональными системами базисных кусочно-постоянных функций являются системы функций Уолша и Хаара.

19.Функции Уолша.

Для нормированных функций Уолша принято обозначение wal(n,), где n - номер функции, а находится в интервале 0 <1. Обычно рассматривается множество функций Уолша wal(n,) при n=0,1,...,N-1, где N=2i и i=1,2,3,...

Первые восемь функций Уолша изображены на рис. 3.11[5].




Рис. 3.11

Функции Уолша различают по их порядку и рангу. Под порядком имеют ввиду максимальный из содержащих единицу номеров разрядов при двоичном представлении числа n, рангом называют число единиц в двоичном выражении n. Например, порядок и ранг функции wal(5,) равны соответственно 3 и 2, так как двоичным выражением числа 5 является 101 (имеется ввиду обычное двоичное кодирование чисел; см. второй столбец табл. 3.2). Функции Уолша могут быть представлены в виде произведений функций Радемахера (см. табл. 3.3). Номера функций Радемахера, образуюших функции Уолша wal(n,) определяются по номерам последних, выраженных в двоичном коде Грея. Для чисел n от 0 до 15 их нумерация кодом Грея дана в последнем столбце табл.3.2. Номера перемножаемых функций Радемахера отвечают номерам разрядов, в которых имеются единицы, закодированного кодом Грея числа n. Разряды отсчитываются, начиная с младшего разряда. Так определяются как произведение функций Радемахера функции wal(n,) для любых n.

Код Грея связан следующим образом с обычным двоичным кодом. Если в обычной двоичной системе исчисления число n=ak-1ak-2...a0, то в коде Грея n=bk-1bk-2...b0, где b0=a0a1, b1=a1a2,...,bk-1=ak-1; - знак суммирования по модулю два (00=0; 01=1; 10=1; 11=0). Например, n=2 в обычном двоичном коде записывается как 10. Здесь a1=1, a0=0. Следовательно, b0=a0a1=01=1, b1=a1=1. Следовательно, число n=2 представляется как 11, что и указано в табл.3.2.




Функции Уолша могут быть упорядочены по Уолшу. На практике широко используется также и другие способы упорядочивания функций Уолша. Имеется упорядочивание функций Уолша по Пэли, упорядочивание функций Уолша по Адамару. На рис. 3.12. показаны первые восемь функций Уолша-Адамара had(n,).

Рис. 3.12

Таблица 3.2

n-N0 функции Уолша (упорядоченной по Уолшу)

Выражение n в обычном двоичном коде

Выражение n в коде Грея

0

0000

0000

1

0001

0001

2

0010

0011

3

0011

0010

4

0100

0110

5

0101

0111

6

0110

0101

7

0111

0100

8

1000

1100

9

1001

1101

10

1010

1111

11

1011

1110

12

1100

1010

13

1101

1011

14

1110

1001

15

1111

1000


Таблица 3.3


n-N0 функции Уолша (упорядоченной по Уолшу)

Формулы перехода от функций rad(m,) к функциям wal(n,)

0

wal(0,)=1

1

wal(1,)=rad(1,)

2

wal(2,)=rad(1,)rad(2,)

3

wal(3,)=rad(2,)

4

wal(4,)=rad(2,)rad(3,)

5

wal(5,)=rad(1,)rad(2,)rad(3,)

6

wal(6,)=rad(1,)rad(3,)

7

wal(7,)=rad(3,)

8

wal(8,)=rad(3,)rad(4,)

9

wal(9,)=rad(1,)rad(3,)rad(4,)

10

wal(10,)=rad(1,)rad(2,)rad(3,) rad(4,)

11

wal(11,)=rad(2,)rad(3,)rad(4,)

12

wal(12,)=rad(2,)rad(4,)

13

wal(13,)=rad(1,)rad(2,)rad(4,)

14

wal(14,)=rad(1,)rad(4,)

15

wal(15,)=rad(4,)

  1. Преобразование Уолша. Применение преобразования Уолша.

Преобразование Уолша и Хаара

Аналогично тому, как производится разложение функций в ряд Фурье, выполняется оно и при использовании функций Уолша в качестве базисных функций. Для функции x(t), нормализованной соответствующим образом, формула разложения x(t) в ряд Уолша имеет следующий вид

, (3.35)

где wal(n,t) - п-я по порядку следования функция Уолша и X(n) - спектр Уолша.

В литературе встречаются различные обозначения спектра Уолша и по разному обозначаются базисные функции Уолша. В дальнейшем для спектра Уолша принято обозначение с и для функций Уолша обозначение W(t/T) в связи с тем, что функции нормализуются при t[0,T).

Ряд Уолша одномерного сигнала x(t), t[0,T) будет иметь вид

, (3.36)

где спектр Уолша

. (3.37)

В этом случае равенство Парсеваля

. (3.38)
усеченные ряды Уолша

(3.39)
обладают равномерной, среднеквадратической сходимостью и сходимостью в среднем и могут быть использованы для аппроксимации сигналов, описываемых интегрируемыми функциями.

Применения преобразований Уолша и Хаара

Успешному использованию преобразований Уолша способствовало изучение следующих вопросов: свойства функций Уолша; свойства спектров Уолша; общие вопросы применения функций Уолша при выполнении преобразований; алгоритмы быстрого преобразования Уолша; вычисление корреляционных функций и выполнение сверток на базе функций Уолша; применение функций Уолша для исследования случайных процессов; использование функций Уолша при построении цифровых фильтров.

Для области автоматического управления является актуальным применение преобразований Уолша при анализе динамики линейных и нелинейных систем, разработке систем оптимального управления, моделировании процессов, идентификации объектов, разработке ряда специальных устройств автоматики.

Практически важным является предложенное Х. Хармутом использование функций Уолша для формирования сигналов, передаваемых по линиям радиосвязи. Предложено использовать их в качестве несущих при распространении сигналов в радиоканале над поверхностью Земли, проработаны вопросы генерирования и приема сигналов этого вида. Функции Уолша применены при разработке многоканальных систем связи. На основе использования функций Уолша разработаны усовершенствованные методы помехоустойчивого кодирования сигналов.

Преобразования Хаара, хотя они используются в меньшей степени, чем преобразования Уолша, тоже находят применение при разработке и исследовании средств автоматики. Быстрое преобразование Хаара используется при анализе процессов. С помощью функций Хаара можно эффективно осуществлять свертки сигналов. Функции Хаара использованы при разработке цифровых фильтров, при исследовании случайных процессов, а также при разработке конкретных типов устройств в системах управления и связи.