microbik.ru
1


Исходная структурная схема импульсной САУ:



Тип импульсного элемента:



(время запаздывания); ;

Передаточные функции, входящие в САУ:







Преобразуем исходную структурную схему к типовому виду:


W1W3/(1+W1W2)

Согласно упрощенной схеме, выражение для непрерывной передаточной функции разомкнутой системы будет определяться следующим соотношением:



Тогда передаточная функция приведенной непрерывной части:

.

Применяя дискретное преобразование Лапласа к последнему выражению, получим передаточную функцию разомкнутой импульсной системы:



Построим АФХ (годограф) разомкнутой импульсной САУ, для чего запишем выражение для комплексного коэффициента усиления:

.

Выделим в выражении действительную (Re) и мнимую (Im) части, для чего необходимо преобразовать знаменатель выражения ; умножить числитель и знаменатель на комплексно–сопряженное знаменателю число; и снова осуществить преобразование

.
Значения и , полученные для разных , сведены в табл.1, а АФХ рассматриваемой импульсной САУ изображена на следующем рисунке.

Таблица 1



50

100

200

450

700

900

1200

1800



-6.032

-4.091

-1.745

-0.35

-0.088

-0.012

0.037

0.062



-11.25

-3.355

-0.309

0.212

0.163

0.122

0.073

0




Построение годографа по годографу производится согласно выражению:

.

Тогда годограф, построенный по приближенной формуле, и значения:

Таблица 2



50

100

200

450

700

900

1200

1800



-6.032

-4.091

-1.7451

-0.351

-0.088

-0.012

0.037

0.062



-11.25

-3.355

-0.3088

0.2121

0.1629

0.1221

0.073

0




Как видно из рисунка годографы импульсной разомкнутой системы, построенные точным и приблизительным методом совпадают.

Определим устойчивость замкнутой импульсной системы и ее предельный коэффициент.

по критерию Найквиста:

Так как АФХ не охватывает точку с координатами (-1,j0), то рассматриваемая САУ в замкнутом состоянии является устойчивой.

Предельный коэффициент определяем по соотношению:

,

где – коэффициент усиления разомкнутой САУ; – модуль комплексного коэффициента усиления при его аргументе равном –180 градусов.

по критерию Гурвица:

Запишем передаточную функцию дискретной САУ в замкнутом состоянии через Z–преобразование:

.

Введем подстановку . Тогда характеристическое уравнение принимает вид:

.

После преобразов9аний, из последнего соотношения получим:

.

Так как характеристическое уравнение 2-го порядка не имеет отрицательных коэффициентов, то рассматриваемая система является устойчивой в замкнутом состоянии.

Определим . Для этого передаточную функцию разомкнутой импульсной САУ представим следующим образом:

.

Заметим, что коэффициент усиления равен .

Тогда соответствующая передаточная функция САУ в замкнутом состоянии примет вид:

.

Подставим в характеристическое уравнение соответствующее передаточной функции , . Тогда:



Тогда:

.

На основе необходимого и достаточного условия устойчивости:

Возьмем и для этого коэффициента усиления разомкнутой системы определим устойчивость замкнутой системы на основе корней характеристического уравнения.

Для получим:

.

Откуда корни характеристического уравнения для замкнутой системы равны:

,

Т.к. корни характеристического уравнения не выходят из круга радиуса 1, то замкнутая САУ является устойчивой.

Предельный коэффициент усиления найдем из уравнения:

;

, откуда получим значение .
Построение переходного процесса для замкнутой импульсной САУ



Численные значения переходного процесса в определенные моменты времени замкнутой ИСАУ

Для этого разделим числитель и знаменатель :

;

Переходный процесс можно построить по следующему разностному уравнению, полученному из выражения для :


Численные значения переходного процесса в определенные моменты времени замкнутой ИСАУ


Номер шага

Момент времени

Значения переходного процесса

1

0,01

0

2

0,02

0

3

0,03

0,224

4

0,04

0,63056

5

0,05

1,1357304

6

0,06

1,630198836

7

0,07

2,002787002

8

0,08

2,165281818

9

0,09

2,073090804

10

0,10

1,736932001

11

0,11

1,222590236

12

0,12

0,63832893

13

0,13

0,112295752

14

0,14

-0,235406968

15

0,15

-0,319938933




Рассчитаем статическую и кинетическую ошибки замкнутой ИСАУ

Передаточная функция системы относительно ошибки :

.

Тогда статистическая ошибка при :



Кинетическая ошибка имеет место, когда входной является функция, изменяющаяся по линейному закону:

или .

Дискретное преобразование Лапласа указанного сигнала



С учетом этого кинетическая ошибка равна: