microbik.ru
1
Приложение

Вариант № 15

Овчинцев Евгений Михайлович ИФО 3-2

Курсовая работа по дисциплине «Уравнения в частных производных».

Задание №3.

А) Решить задачу Штурма-Лиувилля с краевыми условиями, указанными в варианте.

Б) Проверить ортогональность полученной системы собственных функций.

В) Разложить функцию в ряд по собственным функциям.

Г) Выписать первые 4 ненулевых члена.



Решение.

А)

1)







2)

3)













Собственные функции:

Собственные числа:

Б)











Ортогональность и остальных функций:





В)



















































Г)













Задача №4

Решить задачу о свободных колебаниях струны длины , с заданными краевыми условиями и начальными условиями



Вычислить приближенное отклонение середины струны в момент времени используя для этого первые 3 ненулевых члена в разложении в ряд. Построить график приближенного отклонения точек струны:

а)в момент времени ,

б)при .

Решение.

– отклонение струны в точке в момент времени .

1.bmp

Краевые условия

Начальные условия



– решение задачи.2.bmp

Решим задачу методом Фурье.













Решим эту задачу Штурма-Лиувилля:



1)





2)



3)







Из этого следует, что



























Выпишем первые три слагаемых:









Вычислим значение функции в точке :





а) Построим график функции в момент отклонение .

б) Если , то











Так как , то добавим для точности четвертый член.



Так как , то добавим для точности пятый член.



17.bmp



Задача №5.

Решить задачу по распространению тепла в стержне для тонкого однородного стержня длины , боковая поверхность которого теплоизолирована. Определить функцию – температуру в произвольной точке стержня в произвольный момент времени в общем виде при заданых краевых условиях, если начальные условия заданы функцией: . Вычислить приближенно температуру стержня в точке в момент времени , взяв 3 первых ненулевых члена ряда.

Построить график приближенного решения:

а) в момент .

б) при .

Постановка задачи:4.bmp

– температура в точке в момент времени , удовлетворяет уравнению теплопроводности.



параметр, определяемый материалом проводника. Так как у нас материал сталь, то

Рассматриваются краевые и начальные условия.

Краевые условия:

Начальные условия: , где



Кроме того, нужно найти температуру в точке в момент времени

Метод Фурье. Будем искать решение всей задачи в виде









1)





2)

3)





































































Запишем три ненулевых члена:

















Вычислим приближенно значение температуры в точке в момент времени







а) Построим график приближенного значения температуры в моментвремени







б) Построим график функции при