microbik.ru
1
Министерство образования и науки РФ

Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова

Кафедра высшей математики

Курсовая работа по теме:

Содержание математической символики

Выполнил студент

группы ЭТ 22-05

Иванов Василий

Проверила

Ращепкина Н.А.


Чебоксары 2005 г.

Введение.

История науки показывает, что логическая структура и рост каждой математической теории зависят от исполь­зования математической символики и ее усовершенствования.

В чем заключено объективное содержание математической символики? Чем объясняется значение символики в математике?

Математические знаки служат в первую очередь для точной записи математических понятий и предложений. Их совокупность – в реальных условиях их при­менения математиками – составляет то, что называется математическим языком. Использование знаков позволяет формулировать законы ал­гебры, а также и других математических теорий в общем виде.

Математические знаки позволяют записывать в компакт­ной и легкообозримой форме предложения, выражение которых на обычном языке было бы крайне громоздким. Это способствует более глубокому осознанию их со­держания, облегчает его запоминание.

Правильно заметил Л. Карно, что в математике «символы не являются только записью мысли, средством ее изображения и закрепления, – нет, они воздействуют на самую мысль, они, до известной степени, направляют ее, и бывает достаточно переместить их на бумаге, согласно извест­ным очень простым правилам, для того, чтобы безошибочно до­стигнуть новых истин».
1. Позиционная десятичная система счисления.

Система счисления, которой мы в основном пользуемся сегодня, десятичная позиционная. Десятичная, так как ее основание 10. Основанием позиционной системы счисления называется возводимое в степень целое число, которое равно количеству цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. Основание показывает также, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию. В позиционных системах счисления количественный эквивалент (значение) цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа

Десятичная система характеризуется тем, что в ней 10 единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего старшего разряда. Другими словами, единицы различных разрядов представляют собой различные степени числа 10.

Пример непозиционной системы дает употребляемая поныне римская нумерация. Мы пользуемся ею для обозначения юбилейных дат, для нумерации некоторых страниц книги (например, страниц предисловия), глав в книгах, строф в стихотворениях и т. д. В позднейшем своем виде римские цифры выглядят так: I=1; V=5; X=10; L=50; С=100; D=500; M=1000.

Основные недостатки непозиционных систем нумерации - трудности с изображением произвольно больших чисел и, главное, более сложный, чем в позиционных системах, процесс вычислений.

Крупным шагом вперед, оказавшим колоссальное влияние на все развитие математики было создание десятичной позиционной системы счисления. Позиционные десятичные записи чисел встречаются в Индии с VI в.
2. Символика Декарта и развитие алгебры.

В сочинении «Исчисление г. Декарта» неизвестный автор изложил арифметические основы математики Декарта. Они писал: «Эта новая арифметика состоит из букв a, b, c и т.д., а также из цифр 1, 2, 3 и т.д. Если цифры стоят перед буквами, например, 2а, 3b, 1/4с, то это означает, что величина а берется двойной, величина b – тройной, а от величины с берется четверть. Но если они находятся позади букв, например, а3, b4, c5, то это означает, что величина а умножается сама на себя три раза, вели­чина b – четыре раза, а величина с – пять раз». «Сложение производится с помощью такого знака +. Так, чтобы сложить а и b, я пишу а + b. Вычитание про­изводится с помощью такого знака –. Так, чтобы вычесть а из b, я пишу b – a и т. д. Если в вычитаемом выражении есть несколько частей, то у них в нем изменя­ются лишь знаки. Так, если из d требуется вычесть а – b + с, то останется d – а + b – –с. Точно так же при вычитании а2 – b2 из с2 – d2 останется с2 – d2 – а2 + b2. Но если имеются присоединенные цифры и члены одина­кового вида, то их следует подписывать друг под другом и производить их сложение и вычитание как в обыкно­венной арифметике... Если требуется умножить одну букву на другую, то их следует лишь соединить вместе, но если имеются присоединенные, числа, то они следуют законам обыкновенной арифметики. Что касается знаков, то известно, что + на + дает в произведении + и что –, умноженный на –, также дает в произведении +. Но + на – или же –, умноженный на +, дает в произ­ведении –».

Точно так же определялись действие деления, операции с дробями «по правилам обыкновенной арифметики». Вот рассуждение о корне: «Когда корень извлечь из квад­рата нельзя, его квадрат помещают под связку , чтобы отметить, что его следует рассматривать как корень, и тогда его корень называют иррациональной величиной».

Формализации алгебры (и всей математики) чрезвы­чайно способствовало то, что Декарт усовершенствовал буквенную символику. Он обозначал известные величины буквами а, b, с, . . ., неизвестные («неопределенные») – буквами x, y, z, .... Он ввел обозначения степеней: a2, a3 , х3 , . . .
3. Обозначение интеграла.

Введенные в начале XVIII века Лейбницем обозначе­ния производной и интеграла помогли развить дифференциаль­ное и интегральное исчисление; задачи на вычисление площа­дей, объемов, работы силы и т. п., решение которых раньше бы­ло доступно только первоклассным математикам, стали решаться почти автоматически. Благодаря этому обозначения Лейбница получили широкое распространение и проникли во все разделы науки, где используется математический анализ. Лейбницу принадлежит создание многих символов, которые мы используем сейчас, например, dx, ddx,…, d2x, d3x, , .

Обозначение , означает, что неопределённым интегралом называется совокупность всех первообразных функции f(x). Символ  (удлинённое S — первая буква слова Summa) называется знаком интеграла, f (x) — подинтегральной функцией неопределённого интеграла.
4. Обозначение логарифма.

Термин «логарифм» предложил Дж. Непер; он возник из сочетания греческих слов logos (здесь — отношение) и arithmos (число); в античной математике квадрат, куб и т. д. называются «двойным», «тройным» и т. д. отношением. Т. о., для Непера слова «lógu arithmós» означали «число (кратность) отношения». Непер первый ввёл обозначение: logaN=m, которое означает: логарифмом числа N по основанию а называется показатель степени m, в которую следует возвести число а, чтобы получить N. Например, log10 100 = 2; log2 1/32 = - 5; loga 1 = 0, т. к. 100 = 102, 1/32 = 2-5, 1 = a0.

В соответствии с десятичным характером нашего счёта наиболее употребительны десятичные логарифмы (а = 10), обозначаемые lg N.  Большое значение имеют также натуральные логарифмы, основанием которых служит число e = 2,71828...; их обозначают lnN.

5. Алгебра высказываний.

Исходные объекты алгебры высказываний – это простые высказывания. Их будем обозначать строчными латинскими буквами a, b, c, …, x, y, z. Предполагается, что всякое простое высказывание обладает одним и только одним из двух свойств: либо оно истинно, либо ложно.

Будем пользоваться почти повсеместно принятой терминологией: свойства истинности (и) и ложности (л) мы будем называть значениями истинности высказываний. При такой терминологии значение истинности сложного высказывания есть функция от значений истинности простых высказываний; такая функция называется логической связкой.

5.1 Определения основных логических связок


а) Отрицание (знак  ). Если а – высказывание, то а (чита­ется: «не а») также высказывание; оно истинно или ложно в зави­симости от того, ложно или истинно высказывание а.

Таким образом, операция отрицания описывается следующей таблицей:


a

a

и

л

л

и


Операция  в теории высказываний вполне со­ответствует понятию отрицания в обыденном смысле слова. Если, например, а – высказывание «Число три делит число шесть», то отрицанием а этого высказывания будет «Число три не делит число шесть». Высказывание а при этом истинно, высказывание а, – ложно.

б) Конъюнкция. В качестве знака для конъюнкции мы будем употреблять знак  (можно также &).

Если а и b - высказывания, то а  b (читается: «а и b») – но­вое высказывание; оно истинно тогда и только тогда, когда а истин­но и b истинно. Значение истинности сложного высказывания а  b задается матрицей. Определение операции конъюнкции вполне соответ­ствует обыденному значению союза «и»:


b

a

и

л

и

и

л

л

л

л

в) Дизъюнкция. В качестве знака для дизъюнкции мы будем употреблять знак .

Если а и b – высказывания, то а  b (читается: «а или b») – новое высказывание, оно ложное, если а и b ложны; во всех осталь­ных случаях а  b истинно. Операция дизъюнкции довольно хорошо соответствует обыден­ному значению союза «или».

Таким образом, матрица истинности для операции дизъюнкции выглядит так:


b

a

и

л

и

и

и

л

и

л


г) Импликация. В качестве знака для импликации будем упот­реблять знак .

Если а и b – два высказывания, то а  b (читается: «а импли­цирует b») – новое высказывание; оно всегда истинно, кроме того случая, когда а истинно, а b ложно.

Матрица истинности операции импликации следующая:


b

a

и

л

и

и

л

л

и

и



В импликации а  b первый член а называется антецедентом, второй b – консеквентом.

Операция  описывает в некоторой мере то, что в обыденной речи выражается словами «Если а, то b», «Из а следует b», «а – достаточное условие для b».

д) Эквиваленция. Для этой операции мы будем употреблять знак . Операция эквиваленции определяется так: если а и b – два высказывания, то а  b (читается: «а эквивалентно b»;  со­ответствует словесному выражению «...тогда и только тогда, когда...») – новое высказывание, которое истинно, если либо оба высказывания истинны, либо оба – ложны.

Из этого определения связки  следует, что ее матрица истин­ности выглядит так:


b

a

и

л

и

и

л

л

л

и


С помощью веденных связок мы можем строить слож­ные высказывания, зависящие не только от двух, но и от любого числа элементарных высказываний.

Отметим в этой связи, что так называемое нестрогое неравенство а  b (читается: a меньше или равно b») представляет собой дизъюнкцию (а < b)  (a = b); оно истинно, если истинно по меньшей мере одно из входя­щих в него простых высказываний.

Слож­ными высказываниями будут, например, высказывания следую­щего вида:

((а  b)  (с  а)); ((а  b)  (с  а)).

5.2 Высказывания и булевы функции


Одной из основных задач алгебры высказываний является уста­новление значения истинности сложных высказываний в зависи­мости от значения истинности входящих в них простых высказыва­ний. Для этого целесообразно рассматривать сложные высказыва­ния как функции входящих в них простых высказываний. Такие функции называются булевыми функциями (по имени Д. Буля). Например, формула F (а, b, с) = (а  b)  (с  а) описывает, учитывая определение входящих в нее связок, булеву функцию, задаваемую следующей таблицей:


а

b

с

F(a, b, с)

а

b

с

F(a, b, с)

и

и

и

и

л

и

и

и

и

и

л

л

л

и

л

и

и

л

и

и

л

л

и

и

и

л

л

и

л

л

л

и


Заметим, что булевых функ­ций от n аргументов имеется лишь конечное число, а именно столь­ко, сколько возможно функциональных таблиц. Число возмож­ных наборов аргументов равно 2n, а каждому набору аргументов можно независимо друг от друга сопоставлять одно из значений и или л. Таким образом, число всевозможных булевых функций от n аргументов равно – Оно очень быстро растет с ростом n. Обычно рассматривают лишь связки , ,  называемые булевыми связ­ками (или булевыми операциями). Так как связки  и  могут быть выражены через другие булевы связки:

a  b  ( a)  b;

a  b  (a  b)  ( a  b),

которые позволяют повсеместно заменить связки ,  на , , .


6.1 Предикаты.

Алгебра предикатов – тот раздел математической логики, который непосредственно надстраивается над алгеброй высказываний.

Как мы видели, одной из основных задач алгебры высказыва­ний является изучение истинности или ложности высказываний в зависимости от истинности или ложности входящих в них высказы­ваний. Несмотря на большую важность этой области логики, она оказывается слишком бедной для описания и для изучения даже простейших заключений науки и практики. В рамки алгебры вы­сказываний не укладываются ни простейшие заключения арифметики и геометрии, не говоря уже о довольно сложных логических выводах, с которыми мы сталкиваемся в других науках и в повседневной жизни.

Теория предикатов исходит из следующей установки. Простые высказывания выражают, что некоторые объекты обладают неко­торыми свойствами или находятся между собой в некоторых отно­шениях.

При этом понятия «свойство» и «отношение» рассматриваются как частные случаи общего понятия «предиката». Объекты, о кото­рых говорится в высказываниях, называются «термами». Постараем­ся выяснить смысл этих понятий на примерах.

Таким образом, предикатом или, лучше, предикатом-свойством будем считать функцию, определенную на некотором универсальном множестве и принимающую значения и и л. Те элементы, для кото­рых значение предиката «истинно», обладают данным свойством, остальные не обладают.

Например, «три есть простое число», здесь предикат-свойство «быть простым числом». Введем для этого свойства сокращенное обозначение Пр (X). Предикат Пр (X) определен на множестве натуральных чисел. Имеем Пр(1) = л (поскольку 1 не принято рассматривать как простое число). Пр (2) = и, Пр (3) = и, Пр (4) = л, ..., Пр (10) = л, Пр (11) = и и т. д.

Подобно приведенным предикатам-свойствам, математиче­ская логика рассматривает более общее понятие предиката-отно­шения. В зависимости от того, между каким числом объектов уста­навливается отношение, мы различаем двухместные (бинарные), трехместные (тернарные) и т. д., в общем случае – n-местные от­ношения. Рассмотренные выше предикаты-свойства считаются унар­ными предикатами.

Все математические дисциплины имеют дело с предикатами-отношениями, причем самыми распространенными являются бинарные отношения. Они описываются, различными словами: «равны», «не равны», «больше», «меньше», «делить», «пер­пендикулярны», «параллельны» и т. д.

Рассмотрим пример бинарного отношения, определенного на множестве натуральных чисел, а именно отношение, описываемое словом «больше». Если рассматривать это отношение как функцию от двух переменных X и Y (на множестве натуральных чисел), принимающую значения и или л в зависимости от того, будет ли соответствующее отношение выполняться или нет, то эта функция определяет предикат, который обозначим через > (X, Y). Тогда имеем, например, > (3, 2) = и, > (1, 3) = л, > (7, 5) = и и т. д.

Отношение, описываемое словом «между»: «Точка Y лежит между точками X и Z» - является трехместным предикатом Примером четырехместного предиката может служить отношение между членами пропорции X : Y = Z : W

С помощью операций алгебры высказываний мы можем строить новые предикаты. Например, конъюнкция Р (X)Q (X) – это пре­дикат R1(X) = Р(X)Q(X), который истинен для тех объек­тов а, для которых оба предиката Р(X) и Q(X) истинны.
6.2 Кванторы.

В алгебре предикатов наряду с операциями логики высказываний важнейшую роль играют операции, называемые квантора­ми. Именно употребление кванторов делает алгебру предикатов значительно более богатой, чем алгебру высказываний. Кванторы соответствуют по смыслу тому, что на обычном языке выражается словами «все» («для каждого», «для всех» и т. п.) и «существует» («некоторый», «найдется» и т. п.).

Квантор всеобщности определяется так. Пусть Р (X) – какой-нибудь предикат. Тогда квантор всеобщности – это операция, которая сопоставляет Р (X) высказывание

«Все X обладают свойством Р (X)». (*)

Для этой операции («все») употребляется знак (перевернутая латинская буква А, напоминающая о немецком слове «alle» или английском «all» – все). Высказывание (*) записыва­ется так: (X)P(X) (читается: «для всех X Р от X»).

Наряду с квантором всеобщности в логике предикатов рас­сматривается другой квантор – «двойственный» ему квантор су­ществования, обозначаемый знаком (это перевернутая латинская буква E, напоминающая немецкое слово «existieren» или английское «exist» — существовать):

(Х)Р(Х)

(читается: «существует такое X, что Р от X») – высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда Р истинно по меньшей мере для одного объекта. Тем самым (X)Р(X) – истинное высказывание для всех предикатов Р (X), кроме одного – тождественно-ложного.

Между кванторами и имеют место отношения равносиль­ности, позволяющие сводить любой из этих кванторов к другому:  (X) P(X) (X)  P(X) («Неверно, что все X обладают свойством Р (X)» равносильно тому, что «Существует такой объект X, для которого истинно не Р (X)»). Отсюда имеем: (X)  (X) P(X). Аналогично, имеет место двойственный закон:  (X) P(X)  (X) P(X). («Неверно, что существует X, обладающее свойством Р (X)» равно­сильно «Все X обладают свойством не Р (X)»).

Отсюда (X)Р(X)(X)P(X). Эти равносильности называют правилами де Моргана для кван­торов.

От перестановки кванторов может меняться смысл утверждения.

Например, Пусть I=(а,b) – некоторый интервал. Тогда «Для всякого хI существует такой у, что у = f (х)» ((x)(у) (у = f (х))), означает, что функция f(х) всюду определена на I. Напротив, «Существует такое у, что для всякого х у=f (х)» ((у)(х)(у=f(х))) означает, что функция f(x) принимает для всех х некоторое фиксированное значение у, т. е. постоянна.

В математическом анализе часто приходится сталкиваться с кванторами. Например, определение предела последовательности формулируется так «Число А является пределом последовательности аn, если для любого >0 существует номер N, такой, что при всех n>N верно неравенство ». В кванторном обозначении это определение записывается так:

( >0)(NN)(n N)((n>N) 

Список литературы:

  1. Алексеев Б. Т. Философские проблемы формализации знания. Издательство ленинградского университета. 1981.

  2. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., издательство иностранной литературы. 1963.

  3. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. М., «Наука». 1966.

  4. Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М., «Наука». 1967.

  5. Глейзер Г.И. История математики в школе. Пособие для учителей. Под ред. В.Н. Молодшего. М., «Просвещение», 1964.

  6. Калужнин Л.А. Элементы теории множеств и математической логики в школьном курсе математики. Пособие для учителей. М., «Просвещение», 1978. 88с.

  7. Нешков К.И. И др. Множества. Отношения. Числа. Величины. Пособие для учителей. М. «Просвещение», 1978. 63 с.

  8. Марков С.Н. Курс истории математики: Учебное пособие. – Иркутск: Издательство иркутского университета, 1995. – 248с.

  9. Молодший В.Н. Очерки по истории математики. М.

  10. Никифоровский В.А. Из истории алгебры XVI-XVII вв.. М., «Наука». 1979.

  11. Петров Ю.А. Философские проблемы математики. М., «Знание», 1973.

  12. Погребысский И.Б. Гольфрид Вильгельм Лейбниц. М., «Наука». 1971.

  13. Рыбников К.А. История математики. Издательство московского университета. 1974.

  14. Таваркиладзе Р.К. О языке школьного курса математики. «Математика в школе».

  15. Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия. Пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. институтов. Под ред. А.П. Юшкевича. М., «Просвещение», 1976.

  16. Энциклопедический словарь юного математика. М., «Педагогика». 1989.