microbik.ru
  1 2 3 4

3. Барометрическая формула.

Атмосферное давление на высоте h обусловлено весом вышележащих слоёв газа. Давление на высоте h+dh будет P+dP (dh>0, dP<0, т.к. вес и давление с высотой убывают).

Разность давлений P и P+dP обусловлена весом газа, заключённого в объёме цилиндра, с площадью основания, равной и высотой dh (Рис. 8.8).



,

где – плотность газа на высоте , отсюда



(*)

При нормальных условиях воздух можно считать идеальным газом. Тогда

можно найти из уравнения состояния идеального газа , здесь

Рис. 8.8

М – средняя масса моля воздуха. Плотность , подставим в (*), получим

. Поделим обе части на Р: . Возьмём интеграл от левой и правой частей:

.

Предел давление на уровне h=0. Для случая, когда температура постоянная (изотермическая атмосфера), интегрируя, получим:

, отсюда получаем барометрическую формулу.











Графическая иллюстрация этой формулы на рис. 8.9 Давление убывает с высотой тем быстрее, чем тяжелее газ и чем ниже температура.


Рис. 8.9


Распределение Больцмана
В барометрической формуле в отношении M/R разделим и числитель и знаменатель на число Авогадро .

, где

масса одной молекулы,

постоянная Больцмана.

Вместо Р и подставим соответственно. (см. лекцию №7), где плотность молекул на высоте h, плотность молекул на высоте .

Из барометрической формулы в результате подстановок и сокращений получим распределение концентрации молекул по высоте в поле силы тяжести Земли.



Из этой формулы следует, что с понижением температуры число частиц на высотах, отличных от нуля, убывает (рис. 8.10), обращаясь в 0 при Т=0 (при абсолютном нуле все молекулы расположились бы на поверхности Земли). При высоких температурах n слабо убывает с высотой, так



что молекулы оказываются распределёнными по высоте почти равномерно. Распределение молекул по высоте является результатом конкуренции между притяжением молекул к Земле и тепловым движением, стремящимся разбросать молекулы по всем высотам. На разной высоте молекула обладает различным запасом потенциальной энергии

Рис. 8.10

.Следовательно, распределение молекул по высоте является и распределением их по значениям потенциальной энергии.



(*)


где плотность молекул в том месте пространства, где потенциальная энергия молекулы имеет значение ; плотность молекул в том месте, где потенциальная энергия равна 0.

Больцман доказал, что распределение (*) справедливо не только в случае потенциального поля сил земного тяготения, но и в любом потенциальном поле сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.

Таким образом, закон Больцмана (*) даёт распределение частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения, по значениям потенциальной энергии. (рис. 8.11)





Рис. 8.11



  1. Распределение Больцмана при дискретных уровнях энергии.

Полученное Больцманом распределение относится к случаям, когда молекулы находятся во внешнем поле и их потенциальная энергия может применяться непрерывно. Больцман обобщил полученный им закон на случай распределения, зависящего от внутренней энергии молекулы.

Известно, что величина внутренней энергии молекулы (или атома) Е может принимать лишь дискретный ряд дозволенных значений . В этом случае распределение Больцмана имеет вид:

,

где число частиц в состоянии с энергией ;

коэффициент пропорциональности, который удовлетворяет условию

,

где N – полное число частиц в рассматриваемой системе.

Тогда и в результате для случая дискретных значений энергии распределение Больцмана









Качественная иллюстрация этого распределения представлена на рис. 8.12. Это распределение характерно для состояния термодинамического равновесия.

Заметим, что в активных средах лазеров населённость уровней с большим значением энергии может быть выше, чем с меньшим. Это так называемая инверсная населённость уровней.

Рис. 8.12

Но состояние системы в этом случае термодинамически неравновесное.


  1. Статистика Максвелла-Больцмана

Распределение Максвелла и Больцмана можно объединить в один закон Максвелла-Больцмана, согласно которому число молекул, компоненты скорости которых лежат в пределах от до , а координаты в пределах от x, y, z до x+dx, y+dy, z+dz, равно



где , плотность молекул в том месте пространства, где ; ; ; полная механическая энергия частицы.

Распределение Максвелла-Больцмана устанавливает распределение молекул газа по координатам и скоростям при наличии произвольного потенциального силового поля.

Примечание: распределение Максвелла и Больцмана являются составными частями единого распределения, называемого распределением Гиббса (этот вопрос подробно рассматривается в спецкурсах по статической физике, и мы ограничимся только упоминанием этого факта).
Вопросы для самоконтроля.


  1. Дайте определение вероятности.

  2. Каков смысл функции распределения?

  3. Каков смысл условия нормировки?

  4. Запишите формулу для определения среднего значения результатов измерения величины x с помощью функции распределения.

  5. Что представляет собой распределение Максвелла?

  6. Что такое функция распределения Максвелла? Каков ее физический смысл?

  7. Постройте график функции распределения Максвелла и укажите характерные особенности этой функции.

  8. Укажите на графике наиболее вероятную скорость . Получите выражение для . Как изменяется график при повышении температуры?

  9. Получите барометрическую формулу. Что она определяет?

  10. Получите зависимость концентрации молекул газа в поле силы тяжести от высоты.

  11. Запишите закон распределения Больцмана а) для молекул идеального газа в поле силы тяжести; б) для частиц массой m, находящихся в роторе центрифуги, вращающейся с угловой скоростью .

  12. Объясните физический смысл распределения Максвелла-Больцмана.



Лекция №9

Реальные газы

План

  1. Силы межмолекулярного взаимодействия в газах. Уравнение Ван-дер-Ваальса. Изотермы реальных газов.

  2. Метастабильные состояния. Критическое состояние.

  3. Внутренняя энергия реального газа.

  4. Эффект Джоуля – Томсона. Сжижение газов и получение низких температур.


1. Силы межмолекулярного взаимодействия в газах

Многие реальные газы подчиняются законам идеальных газов при нормальных условиях. Воздух можно считать идеальным до давлений ~ 10 атм. При повышении давления отклонения от идеальности (отклонение от состояния, описываемого уравнением Менделеева - Клайперона) возрастают и при p=1000 атм достигают более 100%.



Дело в том, что между молекулами действуют значительные по величине силы, называемые молекулярными силами. При удалении молекул друг от друга молекулярное взаимодействие проявляется в виде сил притяжения, при сближении – в виде сил отталкивания. Молекулярные силы имеют электромагнитное и квантовое происхождение. На рис. 9.1 а) представлена качественная зависимость сил межмолекулярного взаимодействия от расстояния r между молекулами, где Fотт и Fпр – соответственно силы отталкивания

Рис. 9.1

и притяжения, а F – их результирующая. Силы отталкивания считаются положительными, а силы взаимного притяжения – отрицательными. Соответствующая качественная кривая зависимости энергии взаимодействия молекул от расстояния r между центрами молекул приведена на

рис. 9.1б). На малых расстояниях молекулы отталкиваются, на больших притягиваются. Быстро возрастающие на малых расстояниях силы отталкивания означают грубо говоря, что молекулы как бы занимают некоторый определённый объём, дальше которого газ не может быть сжат.
Уравнение Ван-дер-Ваальса

(голландский физик, 1837 - 1923)
Ван-дер-Ваальс ввёл поправки в уравнение состояния идеального газа, учитывающие силы взаимодействия между молекулами и их собственный объём. Из уравнения Клапейрона – Менделеева для 1 моля следует, что при . Учтём в уравнении ограниченную сжимаемость газа. Заменим на , где b – некоторая константа, учитывающая размеры молекул. Теперь при , т.е. смысл поправки b – это объём, к которому стремится моль газа при наиболее «плотной упаковке» молекул, а уравнение состояния с этой поправкой .

Учтём взаимодействие молекул. Сила взаимодействия между двумя элементарными объёмами пропорциональна плотности молекул, заключённых в одном и другом объёмах . Плотность – величина, обратная объёму, занимаемому молекулами. . Отсюда поправка на взаимодействие молекул , где aнекоторая константа, характеризующая силы молекулярного притяжения. В результате уравнение состояния одного моля реального газа приняло вид:



Это и есть уравнение Ван-дер-Ваальса. Здесь a и b – постоянные Ван-дер-Ваальса, для разных газов они имеют свои значения.

Заметим, что поправка имеет размерность давления, и её часто называют внутренним давлением. На стенку сосуда такой газ оказывает давление Р, однако, если бы силы притяжения между молекулами мгновенно исчезли, то давление на стенку стало бы , т.е. при переходе от идеального газа к реальному давление на стенку уменьшаетсяиз-за сил притяжения между молекулами. Поправка b связана с собственным объёмом молекул и её размерность .
Изотермы реального газа

Для исследования поведения реального газа рассмотрим изотермы Ван-дер-Ваальса – кривые зависимости от при заданных температурах Т, определяемые уравнением Ван-дер-Ваальса для 1 моля газа (рис. 9.2). Эти кривые рассматриваются для четырёх различных температур. При высоких температурах изотерма реального газа отличается от изотермы идеального газа только некоторым искажением её формы, оставаясь монотонно спадающей кривой. При некоторой температуре на изотерме имеется точка перегиба К. Эта изотерма называется критической, соответствующая ей температура критической температурой, а точка Ккритической точкой. Состояние с критическими параметрами называется критическим состоянием.



Рис. 9.2

При температурах изотермы имеют волнообразный участок. У реальных изотерм такого завитка нет, вместо него у них имеется прямолинейный горизонтальный участок (на рис. 9.2 обозначены пунктиром). Если через крайние точки горизонтальных участков семейства изотерм провести линию, то получится колоколообразная кривая, ограничивающая область двухфазных состояний вещества. Эта кривая и критическая изотерма делят диаграмму P, V под изотермой на три области: под колоколообразной кривой располагается область двухфазных состояний (жидкость и насыщенный пар Ж+П), слева от неё находится область жидкого состояния (Ж), а справа – область пара (П). Пар отличается от остальных газообразных состояний тем, что при изотермическом сжатии претерпевает процесс сжижения. Газ же при температуре выше критической не может быть превращён в жидкость ни при каком давлении.

<< предыдущая страница   следующая страница >>