microbik.ru
1
Лекция 3.

РАСЧЕТ СЛОЖНЫХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА.

Законы Кирхгофа.

1-й закон: Алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле равна нулю. Или: арифметическая сумма токов входящих в узел равна арифметической сумме токов выходящих из узла.

,

где Ii – ток i-й ветви, подходящей к узлу,

n – число ветвей, сходящихся в узле.

2-й закон: Алгебраическая сумма падений напряжений по любому замкнутому контуру электрической цепи равна нулю.

,

где Ui – падение напряжения на i-м элементе электрической цепи рассматриваемого контура (знак Ui определяется сопоставлением направления падения напряжения с направлением положительного направления обхода контура),

n – число элементов электрической цепи в составе рассматриваемого контура.

Или: алгебраическая сумма падений напряжений на приемниках энергии равна алгебраической сумме ЭДС в составе контура

,

где Ui – падение напряжения на i-м приемнике рассматриваемого контура (знак Ui определяется сопоставлением направления падения напряжения с направлением положительного направления обхода контура),

Ej – ЭДС j-го источника (знак Ei определяется сопоставлением направления ЭДС с направлением положительного направления обхода контура),

n – число элементов электрической цепи в составе рассматриваемого контура.


Метод уравнений Кирхгофа.



Алгоритм метода уравнений Кирхгофа.

1.2. Правила Кирхгофа


Предположим, дана схема, содержащая m ветвей, n узлов, ЭДС источников, их внутренние и внешние сопротивления. Требуется определить токи в ветвях. Последовательность расчета:

1. Для каждой ветви вводят обозначение протекающего через нее тока I1, I2,…, Im и стрелками на схеме указывают его условное положительное направление.

2. Для n – 1 узлов составляют уравнения на основании первого з-на Кирхгофа; для одного из узлов такое уравнение не составля­ют, поскольку оно является следствием уже написанных уравнений.



Рисунок 1

3. Берутся независимые контуры цепи (в каждом контуре хотя бы в одной ветви ток не входит в другие контуры), в которых вы­бираются условные положительные направления обхода контура.

4. Для контуров составляют уравнения по второму правилу Кирхгофа с учетом выбранного направления обхода. При правиль­ном выборе контуров их число должно быть mn + l. Общее число уравнений должно быть m (по числу неизвестных).

5. Решается система m уравнений. Если рассчитанный ток в ветви — положительный, то действительное направление тока совпадает с выбранным и наоборот.

Пример (рис. 1). Схема содержит четыре узла и шесть ветвей. Следовательно, полное число уравнений должно равняться шести. Из них, на основании первого правила Кирхгофа, составляем три уравне­ния. Остальные уравнения получаем по второму правилу Кирхгофа.

Обозначим токи в ветвях и выберем направления токов.

Запишем уравнения на основании первого правила Кирхгофа, например, для узлов a, b и e: I1+I2-I3 = 0; I3-I5-I6 = 0; I4-I1-I2 = 0.

В качестве независимых контуров для составления уравнений по втором правилу Кирхгофа выбираем, например, контуры aefa, abdea и bcdb. За положительное направление обхода примем обход конту­ров по часовой стрелке. В результате получим следующие уравне­ния: ; ; .

Для шести неизвестных I1…. I6 получено шесть уравнений. Ре­шение системы рекомендуется начать с того, что из первых трех уравнений можно выразить, например, токи I1, I2, I3 через токи I4, I5, I6. После подстановки найденных значений в последние три уравнения получим систему из трех уравнений с тремя неизвест­ными. Остается решить систему


Метод контурных токов.




МКТ основан на идее определения не реальных токов, а так называемых контурных токов. При этом предполагают, что по каждому НЕЗАВИСЕМОМУ контуру течет свой контурный ток, который течет только по элементам «своего» контура и не разветвляется на узлах.

По МКТ значения контурных токов определяются из системы уравнений, написанных по 2-му закону Кирхгофа.

Система уравнений по МКТ имеет следующий общий вид:



где Ei – контурная ЭДС в контуре i (i=1,2,…,n), т.е. алгебраическая сумма ЭДС, действующих в данном контуре; ЭДС, совпадающая по направлению с направлением контурного тока, берутся со знаком +, и наоборот;

Rii – собственное сопротивление контура i;

Rik – общее сопротивление контуров i и k.

Реальные токи определяются по найденным контурным, следуя следующему правилу:

  1. реальные токи внешних ветвей контуров равны контурным токам;

  2. реальные токи смежных ветвей определяются как алгебраическая сумма смежных контурных токов; знак контурного тока определяется сравнением его направления с выбранным направлением реального тока.

Знак полученного реального тока определяет правильность выбора его направления.

Алгоритм МКТ


  1. Выбираем направления контурных токов, совпадающих с направлениями обходов контуров.

Следует помнить: контуры выбираются, не содержащие идеальных источников тока!!!

  1. Задаемся направлением токов в ветвях.

  2. Составляем систему уравнений по МКТ

  3. Определяем контурные токи

  4. Вычисляем реальные токи в ветвях.

ПРИМЕР


J = 0,7 A E7 = 2 В

E1 = 4 В E2 = 1 В E6 = 5 В

R1 = 12 Ом R2 = 5 Ом

R4 = 4 Ом R5 = 4 Ом R3 = 2 Ом

R7 = 24 Ом R6 = 1 Ом
Решение:

  1. Выбираем направления контурных токов, совпадающих с направлениями обходов контуров.

Следует помнить: контуры выбираются, не содержащие идеальных источников тока!!!

  1. Задаемся направлением токов в ветвях.

  2. Составляем систему уравнений по МКТ:



После подстановки численных значений система примет вид:



При направлении СУ необходимо учитывать взаимодействие контурного тока численно равного J - току источника тока на смежных контурах с источником тока!!!

Определяем контурные токи:

Iх1 = 0,5А; Iх2 = 1А; Iх3 = –0,25А.

  1. Вычисляем токи в ветвях: