microbik.ru
1


ЛЕКЦИЯ 4 (ППЖП)

ГИДРОДИНАМИКА

План

1.4 Давление. Гидростатическое давление (вывод формулы). Закон Паскаля.

2.3 Течение идеальной жидкости. Число Рейнольдса. Уравнение неразрывности струи.

3.4 Уравнение Бернулли и следствия из него.

4.4 Течение вязкой жидкости. Формула Ньютона. Коэффициент внутреннего трения.

5.4 Движение вязкой жидкости по трубам. Закон Пуазейля.

6.4 Закон Стокса в лабораторных исследованиях качества продуктов.

1.4

Механическое давление (или просто давление) - физическая величина, численно равная отношению силы, действующей перпендикулярно поверхности к площади этой поверхности:

(1.4)

Основной единицей давления в СИ является .

Внесистемными единицами измерения давления являются:

1 мм рт. ст. = 133 Па;

.



Рисунок 1.3 Жидкость в сосуде


Рис.4.1
Жидкость, находящаяся в сосуде, оказывает на него давление.

Гидростатическое давление - давление, обусловленное весом жидкости.

Определим давление, создаваемое жидкостью на дно сосуда. По определению давление , где – вес жидкости. Тогда . Массу жидкости можно найти по формуле , где – объём жидкости в сосуде. Как видно из рисунка 1.3 объем жидкости равен . Учитывая сказанное для давления можно получить:

(2.4)

Таким образом, давление жидкости зависит только от высоты её столба и от рода жидкости и не зависит от площади поверхности, на которую действует жидкость.

Закон Паскаля: внешнее давление, оказываемое на жидкость (или газ), распространяется во все стороны без изменения.

2.4

Движение жидкостей называется течением, а совокупность частиц движущейся жидкости – потоком.

Графически движение жидкостей изображается с помощью линий тока, которые проводят так, что касательные к ним совпадают по направлению с вектором скорости жидкости в соответствующих точках пространства.



Рисунок 2.4 Линии тока жидкости

Линии тока проводят так, чтобы густота их, характеризуемая отношением числа линий к площади перпендикулярной им площадки, через которую они проходят, была больше там, где больше скорость течения жидкости, и меньше там, где жидкость течет медленнее. Таким образом, по картине линий тока можно судить о направлении и модуле скорости в разных точках пространства, то есть можно определить состояние движения жидкости. Линии тока в жидкости можно «проявить», например, подмешав в нее какие – либо заметные взвешенные частицы.

Установившееся (стационарное) течение - течение жидкости, при котором скорость движения, плотность жидкости и температура в данной точке потока сохраняются без изменения. При установившемся течении форма и расположение линий тока в каждой точке жидкости со временем не изменяются.

Различают два режима течения жидкостей: ламинарное (слоистое) и турбулентное (вихревое).

Ламинарное течение – упорядоченное движение жидкости, при котором траектории соседних частиц мало отличаются друг от друга. В случае ламинарного течения каждый слой потока перемещается, не перемешиваясь с другими слоями.

Турбулентное течение – движение жидкости, при котором ее частицы совершают неустановившиеся неупорядоченные движения по сложным траекториям. При турбулентном течении происходит образование вихрей и перемешивание различных слоев жидкостей или газов. Турбулентное течение возникает в результате потери устойчивости ламинарного течения при достаточно больших скоростях движения.

Опытным путем было установлено, что важнейшей характеристикой течения является безразмерная величина, называемая числом Рейнольдса:

, (3.4)

где- плотность жидкости, - средняя (по сечению трубы) скорость потока, - диаметр круглой трубы, - коэффициент вязкости (коэффициент внутреннего трения).

При достаточно малых значениях наблюдается ламинарное течение. При (критическое значение) ламинарное течение переходит в турбулентное. Для гладких труб, например .

Рассмотрим трубу, по которой движется жидкость. Выберем два ее сечения S1 и S2 , перпендикулярные направлению скорости.



Рисунок 3.4 Течение жидкости в трубке тока разного сечения

При стационарном течении масса жидкости, протекающая за единицу времени через любое поперечное сечение трубки тока, есть величина постоянная, если жидкость несжимаема (ρ-const):









. (4.4)

Следовательно, произведение скорости течения несжимаемой жидкости на поперечное сечение трубки тока есть величина постоянная. Последнее уравнение называется уравнением неразрывности струи.

Или - скорости течения жидкости вдоль трубки тока обратно пропорциональны площадям ее поперечного сечения.

3.4

Рассмотрим трубу, по которой движется жидкость. Выберем два ее сечения S1 и S2 , перпендикулярные направлению скорости.



Рисунок 4.4 Течение жидкости в трубке тока разного сечения на разной высоте

Пусть в месте сечения S1 скорость течения , давление p1 и высота, на которой это сечение расположено, h1 . Аналогично, в месте сечения S2 скорость течения , давление p2 и высота сечения h2 . За малый промежуток времени жидкость перемещается от сечений S1 и S2 к сечениям и .

Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии идеальной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил по перемещению массы m жидкости:

,

где Е1 и Е2 – полные энергии жидкости массой m в местах сечений S1 и S2 соответственно.

С другой стороны, А – это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключенной между сечениями S1 и S2 за рассматриваемый малый промежуток времени . Для перенесения массы m от S1 до жидкость должна переместиться на расстояние и от S2 до - на расстояние . Отметим, что l1 и l2 настолько малы, что по всем точкам объемов приписывают постоянные значения скорости, давления и высоты. Следовательно,

.

По определению давления . Следовательно, для работы получим

Полные энергии будут складываться из кинетической и потенциальной энергий массы m жидкости:

и

Получим:

,

где и ρ – плотность жидкости.

По уравнению неразрывности струи .

Разделим предпоследнее равенство на объем , получим

. (5.4)

Последнее выражение называется уравнением Бернулли.

Величина p в этом уравнении называется статическим давлением. Причина статического давления, как и в случае неподвижной жидкости, является сжатие жидкости. Статическое давление проявляется в напоре на стенку трубы, по которой течет жидкость и в напоре на поверхность обтекаемого ею тела. Величина называется динамическим давлением, которое обусловлено скоростью течения жидкости. Чтобы обнаружить это давление, надо затормозить жидкость, и тогда оно, как и статическое давление, проявится в виде напора.

1) Из уравнения Бернулли для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности струи следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление больше в более широких местах, то есть там, где скорость меньше. Это можно продемонстрировать, установив вдоль трубы ряд манометров.



Рисунок 5.4 Статическое давление жидкости, текущей в трубе различного диаметра

В соответствии с уравнением Бернулли опыт показывает, что в манометрической трубке В, прикрепленной в узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в манометрической трубке А, прикрепленной в широкой части.

Можно сделать столь узкое сечение трубки, что вследствие малого давления (ниже атмосферного) в это сечение будет засасываться воздух или жидкость. Это используется в ингаляторах и пульверизаторах.

2) Истечение жидкости из отверстия сосуда. Условно покажем линии тока при истечении жидкости из небольшого отверстия широкого сосуда.



Рисунок 6.4 Истечение жидкости из отверстия у дна сосуда

, . Приближенно считаем , - атмосферное давление на уровнях 1 и 2. Тогда формула Торричелли :

. (6.4)

4.4

При течении реальной жидкости отдельные слои ее воздействуют друг на друга с силами, касательными к слоям. Внутреннее трение (или вязкость) – свойство реальных жидкостей или газов, благодаря которому выравнивается скорость движения различных слоев.

Рассмотрим течение вязкой жидкости между двумя твердыми пластинками, из которых нижняя неподвижна, а верхняя движется со скоростью . Условно представим жидкость в виде нескольких слоев 1, 2, 3 и т.д.

Слой, «прилипший» ко дну, неподвижен. По мере удаления от дна (нижняя пластинка) слои жидкости имеют все большие скорости , максимальная скорость будет у слоя, который «прилип» к верхней пластинке.

При перемещении одних слоев реальной жидкости относительно других возникают силы внутреннего трения, направленные по касательной к поверхности слоев. Действие этих сил проявляется в том, что со стороны слоя, движущегося быстрее, на слой, движущийся медленнее, действует ускоряющая сила. Со стороны же слоя, движущегося медленнее, на слой, движущийся быстрее, действует тормозящая сила. Например, третий слой стремиться ускорить движение второго, но сам испытывает торможение с его стороны, а ускоряется четвертым слоем.



Рисунок 8.4 Скорости слоев жидкости при ламинарном течении

Градиент скорости - векторная физическая величина или , направленная перпендикулярно вектору скорости и показывающая изменение скорости на единице расстояния между слоями.

Основной единицей градиента скорости в СИ является с-1.

Сила внутреннего трения, возникающая при относительном перемещении слоев жидкости, определяется формулой Ньютона:

, (7.4)

где S – площадь соприкасающихся слоев жидкости,

η – коэффициент внутреннего трения или динамической вязкости - численно равен силе внутреннего трения, действующей на единицу площади соприкасающихся слоев при градиенте скорости, равном единице.

Единицей измерения коэффициента динамической вязкости в СИ является .

Вязкость зависит от температуры, причем характер этой зависимости для жидкостей и газов различен (для жидкостей η с увеличением температуры уменьшается, у газов, наоборот, увеличивается), что указывает на различие в них механизмов внутреннего трения.

Из-за различия скоростей в движущейся вязкой жидкости у стен и в середине трубы, давление в ней падает в направлении течения, изменяясь по линейному закону. В этом можно убедиться, проделав в трубе, по которой течет стационарно жидкость, отверстия и вставив в них трубки (рис. 9.4).



Рисунок 9.4 Различие скоростей в движущейся вязкой жидкости

5.4

Из соображений симметрии ясно, что в трубке частицы текущей жидкости, равноудаленные от оси, имеют одинаковую скорость. Наибольшей скоростью обладают частицы, движущиеся вдоль оси трубы; самый близкий к трубе слой будет неподвижен.

Выделим цилиндрический слой радиусом и толщиной .



Рисунок 10.4 Цилиндрический слой жидкости в трубе радиусом r и толщиной dr

Скорость течения данного слоя равна: .

Наибольшую скорость имеет слой, текущий вдоль оси трубы . Тогда .

Площадь сечения этого слоя равна . Так как слой тонкий, то можно считать, что он перемещается с одинаковой скоростью . В единицу времени слой переносит объем жидкости, равный . Из полученного уравнения интегрированием находим объем жидкости, протекший через горизонтальную трубу в единицу времени:

.

Объем жидкости, протекшей через горизонтальную трубу за произвольный промежуток времени определяется по закону Пуазейля:

, (13.4)

где Δр – падение давления на концах трубы, t – время протекания жидкости через трубу.

6.4

Вязкость проявляется при движении не только жидкости по трубам, но и тел в жидкости. При небольших скоростях сила сопротивления движущемуся телу в соответствии с уравнением Ньютона пропорциональна вязкости жидкости, скорости движения тела и зависит от размеров тела. Так как невозможно указать общую формулу для силы сопротивления, то ограничимся частным случаем.

Наиболее простой формой тела является сфера. Для сферического тела зависимость силы сопротивления при его движении в сосуде с жидкостью выражается законом Стокса:

, (8.4)

где R – радиус шарика, – скорость движения. Этот закон получен в предположении, что стенки сосуда не влияют на движение тела.

При падении шарика в вязкой среде на него действуют три силы:

1) сила тяжести , , , таким образом ;

2) сила Архимеда , , таким образом ;

3) сила Стокса.

При попадании шарика в вязкую жидкость его скорость уменьшается. Так как сила сопротивления прямо пропорциональна скорости, то и она будет уменьшаться до тех пор, пока движение не станет равномерным.

По первому закону Ньютона: или в проекции на ось Х: .


Рисунок 11.4 Движение шара в вязкой жидкости

После подстановки получим,

.

Отсюда коэффициент вязкости жидкости

. (9.4)

Измерив время , за которое шарик пройдет определенное расстояние , можно вычислить скорость его движения и коэффициент динамической вязкости.