microbik.ru
1 2 3 4
Из новой книги «Логика Синтеза»

Глава 11. Логика L-противоречий
§ 1. Критерий логической демаркации
В истории философии всегда присутствовали два образа логики, один из которых берет свое начало из философских систем Парменида и Аристотеля и может быть назван линией Парменида, второй происходит из философских идей Гераклита и Платона и может быть назван линией Гераклита в логике. В линии Парменида развивался образ логики как логики формальной, в основании которой лежат законы тождества, (не)противоречия и исключенного третьего. Эта линия сегодня достигла высочайшего уровня, развившись в один из разделов математики – математическую логику. Сильными сторонами линии Парменида всегда были строгость и обоснованность. Однако сторонники второй линии логики полагали, что формальная логика обладает и рядом существенных недостатков. В формальной логике представлен образ некоторого статического и абстрактного логоса, не способного выразить движение, органическую связь и конкретно-общее. Представители линии Гераклита всегда утверждали, что существует некоторая иная логика, которая могла называться «диалектикой», «диалектической логикой», «трансцендентальной логикой», или как-то еще, и которая выходит за границы формального логоса и его законов, способна выразить движение и целостность. Отличие диалектики от формальной логики выражается в первую очередь в том, что диалектика не вполне непротиворечива. Противоречие каким-то образом лежит в основании этой логики. Такие противоречия могли называть «диалектическими противоречиями», или «антиномиями», и так или иначе диалектическая логика как-то должна работать с такого рода противоречиями. Но здесь же возникает и чрезвычайно сложная проблема, которая до сих пор не была решена представителями линии Гераклита. Дело в том, что ошибки – тоже противоречия. И если диалектики не хотят отождествить свою логику просто с ошибочным рассуждением, если диалектическая логика также претендует на истинность своих утверждений, то, следовательно, необходимо указать некоторый признак, критерий, который бы позволил отличить противоречия-ошибки от диалектических противоречий. Я уже писал об этой проблеме в своей книге «Логика всеединства», обозначив этот критерий термином критерий логической демаркации. Говорить о построении диалектической логики можно будет лишь после того, когда так или иначе будет сформулирован критерий логической демаркации, что позволит отличить ошибки от антиномий и построить в некотором смысле непротиворечивую логику противоречий.

Можно предполагать, что в общем случае возможны разные виды антиномических структур. Один из этих видов был представлен выше в рамках Онтологий на предикатах в форме мета-предикаов, «склеенных» из несовместимых обычных предикатов. Это антиномии как предикаты-модусы, способные проявляться на модах своего носителя несовместимыми представлениями. Преодоление формальной противоречивости для таких антиномий обеспечивается введением специальной Проективно Модальной Онтологии, в рамках которой все обычные предикаты оказываются одинаково рядоположенными атомами. Поверх логического порядка, в рамках которого свойства Р и Р оказываются несовместимыми, вводится проективно-модальный порядок, с точки зрения которого свойства Р и Р являются совместимыми. Критерий логической демаркации выразится в рамках этого подхода в представлении кажущихся противоречий (Р  Р) в форме непротиворечивых «склеенных» свойств (Р  Р) (см. ).

Второй вид антиномий – логические структуры, тесно связанные с конструкцией предела. Поэтому ранее я называл такие объекты L-противоречиями (от лат limit - предел). Речь идет о некоторой технике построения предельных последовательностей формул (а не термов, как это обычно бывает в математике). Рассмотрим следующий простой пример. Пусть теория Т – некоторая логическая теория, в рамках которой можно выразить теорию вещественного числа, в том числе формулы вида an = a – «а является пределом бесконечной последовательности чисел {an}n=1». Рассмотрим в рамках этой теории последовательность чисел 1, ½, 1/3, … 1/n, … Пределом этой последовательности будет число 0, т.е. (1/n) = 0. А теперь рассмотрим не последовательность термов, но последовательность формул:

(1/1 = 1/1)  (1/1 = 1/2)

(1/2 = 1/2)  (1/2 = 1/3)



(1/n = 1/n)  (1/n = 1/(n+1))



Это бесконечная последовательность формул теории Т. Каждый элемент этой последовательности можно переписать как результат соответствующей подстановки:
(1/1 = 1/1)  (1/1 = 1/2) f (x=x  (x = y)) x,y [1/1, 1/2]

(1/2 = 1/2)  (1/2 = 1/3) f (x=x  (x = y)) x,y [1/2, 1/3]



(1/n = 1/n)  (1/n = 1/(n+1)) f (x=x  (x = y)) x,y [1/n, 1/(n+1)]



Формула (x=x  (x = y)), в которую производится подстановка во всех этих случаях, остается одной и той же. Меняются только подставляемые термы. Назовем формулу (x=x  (x = y)) инвариантом последовательности. Далее заметим, что на место переменной х в инвариант подставляются термы 1/1, ½, 1/3, …, 1/n,…, а на место переменной у – термы ½, 1/3, …, 1/(n+1), … Последовательность термов {1/n}n=1, подставляемых на место переменной х, назовем х-последовательностью, последовательность термов {1/(n+1)}n=1, подставляемых на место переменной у, - у-последовательностью.

Приведенную выше последовательность формул можно в сжатом виде изобразить следующим образом:

{(x=x  (x = y)) x,y [1/n, 1/n+1]}n=1

Определим теперь для этой последовательности понятие предела по следующему правилу. Положим, что пределом последовательности формул будет инвариант (x=x  (x = y)), в который на места переменных х и у подставлены пределы х- и у-последовательностей соотв. Символически это можно записать таким образом:
(x=x  (x = y)) x,y [1/n, 1/n+1] =Df (x=x  (x = y)) x,y [(1/n), (1/(n+1))]

Поскольку (1/n) = (1/(n+1)) = 0, то окончательно получим:
(x=x  (x = y)) x,y [1/n, 1/n+1] f (x=x  (x = y)) x,y [0,0] f (0=0  (0 = 0))
Но формула (0=0  (0 = 0)) является противоречием. Итак, пределом последовательности истин теории Т оказалось противоречие, т.е. ложная формула. Однако, если бы мы пытались строить логику не просто формул, но – предельных последовательностей формул, то мы могли бы заменить работу с противоречием работой с той последовательностью истин, которая дает это противоречие в пределе. Так возникает идея некоторой логической техники работы с предельными последовательностями формул. Особенно интересным в этом случае будут такие последовательности истин, которые в пределе дают ложь. Такие последовательности и были названы мной «L-противоречиями». В этом случае критерий логической демаркации формулируется таким образом, чтобы противоречие можно было представить как предел некоторого L-противоречия, и только это последнее представляет собою антиномию. В отличие от противоречий-ошибок, возникает возможность построить некоторую непротиворечивую теорию L-противоречий.

Философия построения логики предельных последовательностей формул очень напоминает философию построения вещественных чисел в математическом анализе. В анализе рациональные числа пополняются вещественными числами, которые строятся на основе предельных последовательностей рациональных чисел. Сами рациональные числа всегда можно представить так называемыми стационарными последовательностями, т.е. последовательностями, в которых, начиная с какого-то номера, повторяется один и тот же элемент. Что же касается иррациональных чисел, то они могут быть представлены только нестационарными последовательностями рациональных чисел. Пределом такой последовательности уже не может быть рациональное число. Начинаясь и всегда пребывая в области рациональных чисел, иррациональные последовательности в пределе выходят из этой области. Нечто подобное возникает и в логике L-противоречий. Здесь для любой теоремы теории Т можно построить стационарную последовательность из самой этой теоремы. Тогда вполне естественно пределом стационарной последовательности считать повторяющийся элемент. Следовательно, все стационарные последовательности из теорем Т дадут в пределе эти же теоремы. Что же касается L-противоречий, то, хотя, начиная с некоторого номера, они состоят из теорем, в пределе они дают противоречия, т.е. не теоремы Т, если мы рассматриваем Т как непротиворечивую теорию. Можно предполагать, что L-противоречие не найдет себе аналога среди теорем теории Т.

Все такого рода аналогии требуют более строгого оформления логики L-противоречий, к чему я теперь и перехожу.

§ 2. О свойствах L-противоречивых теорий
Пусть Т – формальная теория с языком L, и в теории Т выводимы формулы, которые могут быть сокращены метавыражениями вида «an = a» и проинтерпретированы на некоторой модели А теории Т как равенство предела последовательности элементов из А элементу а из А. Такого рода теорию Т будем называть «t-предельной теорией» (t – от “term”). В качестве примеров t-предельных теорий можно привести теорию множеств, в которой могут быть определены пределы последовательностей множеств, теорию вещественных чисел, где могут быть определены предельные последовательности на вещественных числах.

Пусть Т – некоторая t-предельная теория с языком L, и формула Аn – формула из L вида

(*) Anf A x1, x2, …, xm [a1n p1, a2n p2, …, amn pm], где pjN, j=1,…,m
Это означает, что формула An - это результат подстановки (не обязательно правильной подстановки, и такую подстановку я буду называть простой подстановкой) на места свободных вхождений переменных x1, x2, …, xm в формулу A соответственно термов a1n p1, a2n p2, …, amn pm, каждый из которых является элементом бесконечной последовательности {ajk}k=1, и в теории Т выводимы теоремы вида:

ajn = aj

для каждого j.

Построим для теории Т некоторую теорию Т* с языком L* по следующим правилам.

Для формул Аn вида (*) определена последовательность {Аn}n=1. Положим по определению:

А =Df Аn =Df A x1, x2, …, xm [a1n, a2n ,…, amn]
Это определение позволяет свести понятие предела формулы к пределам термов, входящих в эту формулу.
Определение 1. Последовательности {Аn}n=1 формул Аn вида (*), а также стационарные последовательности из формул языка L будем называть предельными последовательностями формул из L.
Построим язык L* как множество тех же термов, что и в языке L, и множество всех предельных последовательностей формул из L. Язык L может быть вложен в язык L* на основе такого инъективного отображения : L L*, что, если а – терм из L, то (а)fа; если же А – формула из L, то (А) – это стационарная последовательность из формул А.
Определение 2. Предельные последовательности формул {Аn}n=1 будем называть формулами языка L*.
Таким образом, языки L и L* не различаются между собою алфавитами и множествами термов, но только множествами формул.

Для языка L* введем логические операторы отрицания (), конъюнкции (), дизъюнкции (), кванторов существования () и всеобщности () по следующим правилам:

{Аn}n=1 =Df {Аn}n=1

n}n=1  {Вn}n=1 = Dfn  Вn }n=1

n}n=1  {Вn}n=1 = Dfn  Вn}n=1

х{Аn}n=1 = Df {хАn}n=1

х{Аn}n=1 = Df {хАn}n=1
Здесь я принимаю следующее условие эквиформности двух формул из L*:
Определение 3. Две формулы {Аn}n=1 и {Вn}n=1 из L* считаются эквиформными, {Аn}n=1fn}n=1, если и только если (е.т.е.) n(Аnf Вn).
Лемма 1. Если {Аn}n=1 и {Вn}n=1 - формулы из L*, то и {Аn}n=1, {Аn}n=1  {Вn}n=1, {Аn}n=1  {Вn}n=1, х{Аn}n=1 и х{Аn}n=1 - также формулы из L*.

Док-во. Если {Аn}n=1 и {Вn}n=1 - стационарные последовательности формул из L, то производные от них формулы также будут стационарными последовательностями, т.е. формулами из L*. Рассмотрим случай, когда хотя бы одна из формул {Аn}n=1 или {Вn}n=1 не является стационарной последовательностью. Пусть, например, {Аn}n=1 не являестя стационарной последовательностью, а {Вn}n=1 является, т.е. Bnf В для любого n. Тогда формула Аn – это формула вида (*), т.е Anf A x1, x2, …, xm [a1n p1, a2n p2, …, amn pm], где pj  N, j=1,…,m, и существуют теоремы теории Т вида

следующая страница >>