microbik.ru
1
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва»

В. Д. Бочкарева

Алгебра в примерах и задачах.

Результант. Дискриминант. Системы двух алгебраических уравнений

с двумя неизвестными и их решение методом исключения
Учебно-методическое пособие

Саранск 2012

Результант. Дискриминант
Рассмотрим два многочлена натуральной степени над полем :

, .

Результантом многочленов и является определитель

.

тогда и только тогда, когда и имеют хотя бы один общий корень.

Задача 54. Имеют ли многочлены , над хотя бы один общий корень?

Решение. Составляем результант и проверяем, равен ли он 0.

, значит,

многочлены и общих корней не имеют.

Дискриминантом многочлена является многочлен .

Дискриминант тогда и только тогда равен нулю, когда многочлен имеет хотя бы один кратный корень.

Задача 55. Имеет ли многочлен кратные корни?

Решение. Найдем и построим . Если , то кратных корней не имеет, если , то имеет кратные корни.

.-

.

Следовательно кратных корней не имеет.

Системы двух алгебраических уравнений

с двумя неизвестными и их решение методом исключения
Пусть даны два многочлена и от двух неизвестных и над некоторым полем .

Система уравнений



(1)

называется системой двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными. Решением такой системы называется упорядоченная пара элементов поля , удовлетворяющая каждому уравнению этой системы. Решить систему – это значит найти множество ее решений.

Метод исключения неизвестного состоит из выполнения следующих шагов.

1 шаг. Выделим в многочленах и одно из неизвестных, например, . Тогда система принимает вид:



(2)

Это система двух уравнений от одного неизвестного с коэффициентами из кольца , где – поля:

на .

Многочлены и имеют общий корень тогда и только тогда, когда их результант равен 0.

2 шаг. Находим и смотрим, при каких значениях он равен нулю. Например, при .

3 шаг. Подставляем значения в систему (2):

(3) над .

Многочлены и имеют множество общих совпадающее с множеством корней .

4 шаг. Находим и все его корни. Пусть таким корнем будут и .

5 шаг. Определяем все корни системы (1):

, .

Задача 56. Решить систему в :

.

Решение. Обозначим , .

1 шаг. Исключим из системы неизвестное :

, где

2 шаг. Найдем результант многочленов и :

.

только при , .

3 шаг. 1) Подставляем в исходную систему:





Находим , единственный корень которого . Решение заданной системы: .

2) Подставляем в исходную систему:

.

Единственный корень этой системы .

Решение заданной системы .

Следовательно, исходная система имеет два решения:

и .

ЛИТЕРАТУРА





  1. Бочкарева В.Д. Алгебра. Саранск: СВМО, 2002. – 40 с.

  2. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Учпедгиз, 1960 – 376 с.

  3. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. М.: Просвещение, 1974. – 160 с.

  4. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Задачник-практикум по алгебре. Ч.1. М.: Просвещение, 1982. – 79 с.

  5. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. М.: Просвещение, 1978. – 144 с.

  6. Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. М.: Просвещение, 1980. – 176с.

  7. Виноградов И.А. Основы теории чисел. М.: Наука, 1972. – 168 с.

  8. Глухов М.М., Солодовников А.С. Задачник-практикум по алгебре. М.: Просвещение, 1969. – 276 с.

  9. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977. – 495 с.

  10. Куликов Л.Я Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979. – 559 с.

  11. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Физматгиз, 1959. – 431 с.

  12. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. Ч.2. Методические указания. М.: Изд-во МГУ, 1965. – 40 с.

  13. Окунев Л.Я. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Просвещение, 1964. – 183 с.

  14. Практические занятия по алгебре и теории чисел. Мн.: Высш. шк., 1986. – 302 с.

  15. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1962. – 332 с.

  16. Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984. – 416 с.

  17. Фадеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977. – 228 с.

  18. Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. Мн.: Высш. шк., 1982. – 223 с.