microbik.ru
1
Отчет ОВМ ИМВЦ УНЦ РАН за 2004 год.
Основные результаты.
1. Теория и приложения кубатурных формул.
В теории кубатурных формул – разработка алгоритма асимптотически оптимальных формул с ограниченным пограничным слоем ранее было заложено решение алгебраических систем


Разрешимость этих систем очевидна и нам годилось любое решение. Однако все квадратные подматрицы матрицы А размера (J+1)*(J+1) плохо обусловлены. Поэтому программа кубатурной формулы порядка m с использованием обращения подматриц с приводит к большим погрешностям вычислений. Эту трудность удалось преодолеть с помощью такого результата.
Теорема 1. . Если , то существует решение , растущее при не быстрее .

Использование этого результата позволяет сделать устойчивой программу вычисления интегралов по ОПС формулам достаточно больших порядков гладкости m.

В применениях решетчатых ОПС кубатурных формул к численному интегрированию и фредгольмовых уравнений



получен такой результат.
Теорема 2. Пусть



Использование рядов Неймана для нахождения решения с точностью с вычислением отдельных слагаемых с помощью решетчатых кубатурных формул может дать объем вычислений порядка , в то время как метод итераций для достижения этой же точности требует объем вычислений порядка .
Составлены программы и проведены вычислительные эксперименты с ОПС кубатурными формулами на межведомственной многопроцессорной системе 1000M Межведомственного суперкомпьютерного центра.

Применялись распараллеленные программы ОПС формул для интегрирования по трехмерным выпуклым областям с автоматическим построением локальных карт этих областей.

Использовано одновременно до 400 процессоров. Эксперименты показали, что скорость вычислений линейно растет с увеличением числа процессоров.

(Рамазанов М.Д., Дмитриев В.В., Гарипов И.М.)

Полученные результаты оформлены в виде отчетов по программе фундаментальных исследований Президиума РАН № 17 «Параллельные вычисления на многопроцессорных вычислительных системах».

2. Вычислительные эксперименты с обращением матриц.

В 2004 году продолжалась работа по составлению и апробации программы факторизации матриц для решения задачи обращения матрицы методом разложения на множители с распараллеливанием по числу процессоров на многопроцессорной вычислительной системе «МВС-1000М» Межведомственного суперкомпьютерного центра.

При этом был изменен метод обращения: вместо алгоритма Гаусса применялся метод сингулярного разложения матрицы – метод академика С.К. Годунова.

Задача обращения матрицы методом разложения на множители основана на разложении данной матрицы А в произведение:

A = Q × S × R*,

где Q и P – унитарные матрицы (т.е. QQ* = Q*Q = I, PP* = P*P = I), а S – двухдиагональная матрица.

При этом обратная матрица получается следующим образом:

A-1 = P × S-1 × Q*

Тем самым задача сводится к обращению двухдиагональной матрицы S, в которой и сосредоточены все неудобные свойства матрицы А. Если матрица А плохо обусловлена, то плохо обусловленной будет матрица S.

Пока создана и отлажена программа вычисления матрицы S для размерностей N=1000..5000.

С середины апреля до середины мая 2004 г. Рахматуллин Д.Я. был на стажировке в институте математики (Новосибирск, Академгородок) у академика С.К. Годунова, где изучал пакет программ линейной алгебры, созданный под его руководством, а также решал задачи построения одномерных спектральных портретов.

(Рахматуллин Д.Я.)

3. Готовится программа численного решения периодической задачи Коши методом Галеркина для системы уравнений Навье-Стокса.

Получены все собственные значения и все периодические собственные вектор-функции операторов вихря и Стокса. Доказано, что пространство всех периодических вектор-функций, интегрируемых с квадратом на кубе с ребром разлагается в прямую сумму взаимно ортогональных подпространств, порожденных собственными вектор-функциями оператора ротор.

При любом заданном комплексном числе и комплексной вектор-функции из пространства решены:

система уравнений



и система уравнений Стокса


Выписаны явно условия разрешимости этих систем. Найдены точные пространства и точные оценки решений.

4. Научные семинары.

В отделе работал семинар по вычислительной математике, на котором выступали сотрудники отдела и математики ВУЗов Уфы, Стерлитамака и других городов.

Сотрудники отдела выступали на других научных семинарах.

Рамазанов М.Д. – на семинарах в ИПМ РАН, МГУ (Москва), НИИ Нефтехимии и катализа (Уфа).

Сакс Р.С. - Город Санкт-Петербург ПОМИ. Общегородской семинар имени В.И.Смирнова, руководитель семинара академик О.А.Ладыженская. На его заседании 29.12.2003 в присутствии О.А.Ладыженской выступил с докладом "Решение спектральной задачи для оператора ротор и оператора Стокса с периодическими краевыми условиями".

Рахматуллин Д.Я., Дмитриев В.В., Гарипов И.М. участвовали в работе Российско-германской школы по параллельным вычислениям на высокопроизводительных вычислительных системах (5-10 июля 2004 г., Академгородок, Новосибирск, Россия).
5. Публикации.

1. Рамазанов М.Д. Вариационное исчисление. Уфа, ИМВЦ УНЦ РАН. (10.6 п.л.)

2. Сакс Р.С. Решение спектральной задачи для оператора ротор и оператора Стокса с периодическими краевыми условиями. Статья в журнале "Записки научных семинаров ПОМИ", том 310, 2004, 31 страница.

3. Сакс Р.С. Решение спектральной задачи для оператора ротор в цилиндре. Соавтор - профессор C.J.Vanegas (Венесуэла). Статья в журнал "Applicable Analysis", том 80, 2005, 10 страниц.

4. Сакс Р.С. Решение одной краевой задачи для оператора ротор в шаре. Соавтор - профессор C.J.Vanegas (Венесуэла). Статья в журнал "Applicable Analysis", том 81, 2005, 15 страниц.

6. Работа по грантам.

Сотрудники ОВМ работали по грантам РФФИ:

02-01-01167. Теория приближенного вычисления многомерных интегралов,

03-07-900077. Создание библиотек программ для персональных и суперЭВМ;

и программа фундаментальных исследований Президиума РАН № 17 «Параллельные вычисления на многопроцессорных вычислительных системах»,

проект «Стандартные программы параллельных вычислений модельных задач»;

ФЦП «Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки на 2002-2006 годы».
Зав. Отделом ОВМ ______________ Рамазанов М.Д.