microbik.ru
1

2002 г. №7

Труды ФОРА

О Периодических решенияХ уравнения Бернулли


О.П. Шевякова

Майкопский государственный технологический институт, г. Майкоп



В статье изучаются периодические решения уравнений Бернулли.

Известно (см. например, [1, с.92]), что существуют элементарные доказательство того факта, что число вещественных периодических решений уравнения Риккати и Абеля не превосходят соответственно два и три. Однако, как показал В.А. Плисс [2], число вещественных периодических решений дифференциального уравнения с полиномиальной правой частью относительно неизвестной функции может быть больше степени этого уравнения. Кроме того, В.А. Плисс нашел достаточные условия того, чтобы число вещественных периодических решений дифференциального уравнения с полиномиальной правой частью относительно неизвестной функции не превосходило степени уравнения.

В связи с построением биологических моделей возникает необходимость построения периодических решений уравнения Бернулли. При этом используется методика исследования, предложенная Н.П. Еругиным в работе [3]. Исследование периодических решений Бернулли представляет интерес в связи с тем, что периодические решения, а значит и соответственно биологические стационарные модели, предшествуют решениям, приводящим к нестационарным состояниям, то есть хаосу.

1. Уравнением Бернулли называется уравнение вида

y +p(x) y= q(x)yn, (1)

где n=const, n1.

При п=1 уравнение (1) является линейным.

Уравнение (1) приводится к линейному с помощью подстановки



Подставив значения y и y в уравнение (1), получим линейное уравнение относительно u

(2)

Решение уравнения (2) имеет вид 3, стр. 53:



где С – произвольная постоянная.

При n<1 y=0 будет особым решением уравнения (1), так как оно не может быть получено из общего решения

(3)

ни при каком значении С.

Если n>1, то y=0 получается из (3) при С=.

Равенство (3) можно переписать так:

(4)

где х0 и х1–произвольные, но такие, что интегралы существуют; у0–произвольная постоянная. Решение уравнения (1) в форме (4) дает решение задачи Коши у(х0)=у0, если х10.

Рассмотрим поведение решений уравнения (1) в случае p(x)=a=const0. Тогда (4) примет вид

(5)

Предположим, что q(x) определена при х0 и такая, что интеграл в (5) существует. Пусть а>0.

Если , то все решения ограничены, так как имеем



поэтому



Если а<0, то решение (5) возьмем в виде

(6)

Изменилось лишь значение прежней произвольной постоянной у0. Так как а<0 и q(x) ограничен, то интеграл существует при n<1. Указанный интеграл расходится при n>1.

Учитывая, что



вместо (6) можно написать

(7)

Здесь первое слагаемое является неограниченной функцией при n<1 и ограниченной при n>1. Покажем, что второе слагаемое есть ограниченная функция при n<1:



Поэтому при a<0 и n<1 уравнение (1) имеет одно ограниченное решение , которое получается из (7) при у0=0.

Пусть в решении (5) или (7) функция q(x) периодическая с периодом : q(x+)=q(x). Покажем, что в этом случае уравнение (1) имеет периодическое решение с периодом .

Пусть a<0 и в (7) у0=0, тогда получим решение



Покажем, что у(х+)=у(х).

Действительно, в равенстве



полагаем , и учитывая, что , получим



что и надо было показать.

Пусть a>0. Функция q(x)задана при х0 как периодическая с периодом . Решение (5) мы также имеем при х0. Продолжим задание функции q(x) при х<0 периодически с периодом и определим функцию q(x) равенством q(-x)= q(x), т.е. q(x) определена в промежутке x<0 как четная функция. Возьмем решение (7) в виде

(8)

Тем самым здесь мы выбрали



Введем новую переменную =t+, тогда получим



Мы доказали, что решение (8) периодическое.
Литература

  1. Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – Минск: Вышэйшая школа, 1970.

  2. Плисс В.А. О числе периодических решений уравнения с полиномиальной правой частью// ДАН СССР, 1959. – Т.127. – № 5. –С 965-968.

  3. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. – Минск: Наука и техника, 1972.



On periodical solutions the Bernoulli equation
O.P. Sheviakova
The periodical solutions of Bernoulli equations are investigated.


© О.П. Шевякова