microbik.ru
1 2 3 4



ПРАКТИКУМ
ПО ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКЕ
(автор Галиаскаров Ф.М.)

2009 г.

Глава 1. Основные формулы, применяемые в финансовых расчетах
1.1. Простые и сложные проценты

Под процентной ставкой понимается относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени.

Проценты различаются по базе их начисления. Применяется постоянная или последовательно изменяющаяся база для расчета. В последнем случае за базу применяется сумма, полученная на предыдущем этапе наращения или дисконтирования, т.е. проценты начисляются на проценты. При постоянной базе используют простые, при измененной -сложные процентные ставки.

Под наращенной суммой ссуды (долга, депозита, других видов выданных в долг или инвестированных денег) понимают первоначальную ее сумму с начисленными процентами к концу срока.

Наращение по простой процентной ставке:

, (1)

где S – наращенная сумма; P – первоначальная сумма, n – срок, r – ставка наращения (десятичная дробь).

Наращение по сложной процентной ставке:

, (2)

где j - сложная процентная ставка; n - число лет наращения, m – число начислений процентов в году.

Номинальная ставка – это годовая ставка сложных процентов при одноразовом начислении процентов в году по ставке j.

Эффективная ставка – это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов в году по ставке .

Наращение по непрерывной процентной ставке:

При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентной ставки - силу роста (). Сила роста характеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени. Она может быть постоянной или изменяться во времени.

, (3)

Дисконтирование и учет по простым процентным ставкам.

Термин дисконтирование употребляется как средство определения любой стоимостной величины, относящейся к будущему, на некоторый, более ранний момент времени.

В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n , необходимо определить сумму полученной ссуды P. Такая ситуация может возникнуть, например при разработке условий контракта. Расчет P по S необходим и тогда, когда проценты с суммы S удерживаются вперед, т.е. непосредственно при выдаче ссуды. В этом случае говорят, что сумма S дисконтируется или учитывается, сам процесс начисления процентов и их удержание называется учетом, а удержанные проценты - дисконтом

В зависимости от вида процентной ставки применяют два метода дисконтирования - математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. В первом случае используется ставка наращения, во втором - учетная ставка.

Математическое дисконтирование представляет собой формальное решение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссуды.

, (4)

Банк или иное финансовое учреждение до наступления срока платежа по векселю или иному платежному обязательству приобретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, указанной на векселе, т.е. покупает (учитывает) его с дисконтом (т.е. со скидкой). Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует дисконт. При учете векселя применяется банковский или коммерческий учет, согласно этому методу проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока. При этом применяется учетная ставка d.

, (5)

Для ставки наращения прямой задачей является определение наращенной суммы, обратной – дисконтирование. Для учетной ставки, наоборот, прямая задача заключается в дисконтировании, обратная – в наращении .

Ставка Прямая задача Обратная задача

r (6)

d .

Учетная ставка отражает фактор времени более жестко. Например, при d = 20 % уже 5-ти летний срок достаточен для того, чтобы владелец векселя ничего не получил при его учете.

Определение срока ссуды и величины простой процентной ставки

Продолжительность срока ссуды в годах получим, решив уравнения (1) и (5) относительно n:

, (7) , (8)

По этим же уравнениям можно определить и процентные ставки:

, (9) , (10)

Определение срока платежа и сложных процентных ставок.

Продолжительность срока платежа в годах получим, решив уравнения (2) относительно n:

, (11)

Поэтому же уравнению можно определить и сложную процентную ставку:

, (12)

Продолжительность срока платежа в годах при наращении по постоянной силе роста и по изменяющейся с постоянным темпом силе роста получим, решив уравнения (3) относительно n:

, (13)

Поэтому же уравнению можно определить и силе роста :

, (14)
1.2. Потоки платежей. Постоянные финансовые ренты

Погашение задолженности в рассрочку, периодическое поступление доходов от инвестиций, выплата пенсий и т.д. – называют потоки платежей.

Потоки платежей могут быть регулярными и нерегулярными. В нерегулярном потоке платежей членами являются как положительные (поступления), так и отрицательные величины (выплаты), а соответствующие платежи могут производиться через разные интервалы времени.

Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют финансовой рентой или просто рентой.

Рента характеризуется следующими параметрами: член ренты - размер отдельного платежа, период ренты – временной интервал между двумя последовательными платежами, срок ренты – время от начала первого периода ренты до конца последнего периода, процентная ставка.

По количеству выплат членов ренты на протяжении года, ренты делятся на годовые, P - срочные (P – количество выплат в году), непрерывные (много раз в году).

Обобщенные параметры потоков платежей

Анализ потока платежей предполагает расчет одной из двух обобщающих характеристик: наращенной суммы или современной стоимости.

Наращенная сумма –сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами.

Современная стоимость потока платежейсумма всех его членов, дисконтированных на начало срока ренты или некоторый упреждающий момент времени.

Допустим, имеется ряд платежей , выплачиваемых спустя время после некоторого начального момента времени, общий срок выплат n лет. Необходимо определить наращенную на конец срока сумму потока платежей, если проценты начисляются раз в году по сложной ставке j, то:

, (15)

Как видим, наращенную сумму в заданных условиях получают методом прямого счета. Современную стоимость такого потока найдем прямым счетом – как сумму дисконтированных платежей. Обозначив эту величину, как A, получим:

, (16)

где - дисконтный множитель по ставке j.

Между величинами A и S существует функциональная зависимость:

(17)

Очень важным является различие рент по моменту выплат платежей в пределах периода. Если платежи осуществляются в конце периодов, то такие ренты называют обыкновенными или постнумерандо, если же платежи производятся в начале периодов, то их называют пренумерандо.

Годовая рента

В течении n лет в банк в конце каждого года вносится по R руб. На взносы начисляются сложные проценты по ставке % годовых. Все члены ренты, кроме последнего, приносят проценты – на первый член ренты начисляются (n-1) раз, на второй (n-2) и т.д.

.

Если переписать этот ряд в обратном порядке, то получим геометрическую прогрессию со знаменателем (1+ j ) и первым членом R.

, (18)

При начислении процентов m раз в году то:

; (19)

Если платежи осуществляются в начале периодов то

; (20)

При начислении процентов m раз в году то:

; (21)

Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо

, (22)

Множитель, на который умножается R, называется коэффициентом приведения ренты и обозначается :

При , (23)

В этом случае: , (24)

При дисконтировании m раз в году:

, (25)

Определение срока ренты

P=1

m=1



p=1

m>1

P>1

m=1



m=p



mp

При расчете срока ренты необходимо принять во внимание следующие моменты:

1. Расчетные значения срока будут дробные. Для годовой ренты в качестве n удобнее принять меньшее ближайшее число. У p-срочной ренты результат округляется до ближайшего целого числа периодов.

2. Если округление производится до меньшего целого числа, то наращенная сумма или современная стоимость ренты оказывается меньше заданной. Возникает необходимость в соответствующей компенсации. Например, если речь идет о погашении задолженности путем выплаты постоянной ренты, то компенсация может быть осуществлена соответствующими платежом в начале или конце срока или с повышением суммы члена ренты.

1.3. Оценка эффективности инвестиций

по системе международных показателей

Мировая экономическая практика давно выработала методы оценки инвестиционных предпринимательских проектов, которые учитывают все возможные условия их реализации.

Однако не требуется применять все оценочные показатели во всех проектах, поскольку они очень сильно отличаются друг от друга. Для любого из них могут быть годны лишь те показатели, которые будут учитывать его индивидуальные особенности.

Показатель внутренней нормы доходности.

Внутренняя норма доходности характеризует величину чистой прибыли (чистого валового дохода), приходящуюся на единицу инвестиционных вложений, получаемой инвестором в каждом временном интервале жизненного цикла проекта. Методически расчёт внутренней нормы доходности осуществляется по следующим формулам:

, (26)

где Di – доход предприятия в i-м временном интервале;

ICi – инвестиционные вложения в i-м временном интервале, которые принимаются по проекту с учётом инфляции национальной валюты;

IRRпоказатель внутренней нормы доходности за временной интервал в долях от единицы;

i – текущий временной интервал, принимающий значение от 0 до T;

T – длительность жизненного цикла проекта, исчисляемая в принятых временных интервалах.

Показатель внутренней нормы доходности применяется очень широко на многих предприятиях и многими инвесторами. Но особенно важное значение он имеет для крупных производств, для масштабных проектов, при реализации которых оценивается их стратегичность и растянутость жизненного цикла, в течение которого проект будет приносить большой доход.

Показатель чистого приведённого дохода.

Величина этого показателя определяется по формуле:

, (27)

где NPV – чистый приведённый доход за жизненный цикл проекта;

qН – норматив дисконтирования затрат и результатов проекта, принимаемый на момент начала его жизненного цикла;

, (28)

q2 – гарантированная норма получения дивидендов на вложенный капитал в высоконадёжном банке (в долях от единицы);

qc – страховая норма, учитывающая риск вложения (в долях от единицы);

q0 – минимальная граница доходности проекта (в долях от единицы), которая может устроить предпринимателя.

Рассматриваемый показатель имеет достаточно широкое распространение на предприятиях среднего бизнеса, в ограниченных случаях – крупного и малого бизнеса.

Показатель срока окупаемости инвестиций.

Одним из важнейших показателей эффективности инвестиций для предприятий малого бизнеса является срок окупаемости вложений, ибо предпринимателю, не обладающему большим денежным капиталом, очень важно как можно быстрее вернуть внесённые в дело средства.

Показатель срока окупаемости определяется по формуле:

, (29)
1.4. Облигации

Облигацией называется ценная бумага, удостоверяющая внесение ее владельцем денежных средств и подтверждающая обязательство возместить ему номинальную стоимость ценной бумаги в предусмотренный в ней срок с уплатой фиксированного процента, если иное не предусмотрено условиями выкупа. Облигации относятся к категории ценных бумаг с фиксированным доходом, поскольку обязательства по обслуживанию долга носят фиксированный характер, т.е. инвестиционное учреждение обязуется периодически выплачивать фиксированный процент и фиксированную выкупную сумму по истечении установленного срока. Инвестирование в облигации надежно защищено от риска, благодаря тому факту, что облигации представляют собой долг. Если компания, выпустившая облигации, потерпит крах, то выплаты держателям облигаций будут производиться в первую очередь.

Облигации с нулевым купоном (в частности, российские ГКО) - это облигации, по которым проценты не выплачиваются, но при выпуске им назначается цена на условиях дисконтирования по сравнению с номинальной стоимостью.

Облигации характеризуются следующими параметрами:

NOM - номинальной стоимостью;

T - сроком до погашения;

g - купонной процентной ставкой;

m - числом выплат процентов в году;

Pt - текущей рыночной ценой;

Vt - действительной стоимостью;

Yt - текущей доходностью;

jtef - доходностью к погашению.

Под курсом облигации понимается величина .

Стоимость облигации

Одной из основных характеристик облигации является ее действительная (приведенная) стоимость, ориентируясь на которую покупатели и продавцы устанавливают свои цены на покупку и продажу облигации на рынке. Ожидаемый денежный поток платежей по облигациям состоит из выплат по процентам плюс выплата номинальной стоимости облигации при погашении. Действительная стоимость облигации определяется как современная величина этого потока платежей.

Для облигации с выплатой процентов m раз в году и целой величиной действительная стоимость рассчитывается по формуле:

, (30)

где jt - банковская процентная ставка в момент времени t.

Движение банковской процентной ставки и курсов облигаций происходит в противоположных направлениях. По сути дела, колебания банковской процентной ставки является единственной наиболее важной силой на рынке облигаций.

Как видно из формулы, при росте банковской процентной ставки действительная стоимость облигации падает, а при убывании - возрастает. При большой процентной ставке потоки денежных средств в отдаленном будущем являются менее важными, поскольку инвестор получает большую часть денег в ближайшем будущем.

Действительная стоимость облигации с выплатой купонных процентов два раза в год может рассчитываться по следующей более точной формуле:

, (31)

1.5. Доходность купли - продажи финансовых инструментов

Краткосрочные финансовые инструменты денежно – кредитного рынка – векселя, тратты, различные депозитные сертификаты и т.д. – могут быть проданы до наступления срока их оплаты. Владелец при этом получает некоторый доход, а в неблагоприятных условиях несет убытки.

Покупка и продажа векселя.

Пусть номинал векселя S руб. Он был куплен (учтен) по учетной ставке d1 за 1дней до наступления срока.

Цена в момент покупки составила:

, (32)

где k - временная база учета

За 2 дней до погашения вексель был продан с дисконтированием по ставке d2

, (33)

Для простой ставки r получим следующее балансовое уравнение:

, (34)

Доходность купли - продажи векселя в виде ставки простых процентов:

, (35)

Выразив P1 и P2 через определяющие эти величины параметры, находим:

, (36)

Аналогично поступают и при использовании в качестве меры эффективности годовой сложной ставки.

, (37)

, (38)

, (39)

Покупка и продажа депозитного сертификата.

Депозитные сертификаты выпускаются банками, продаются эмитентом в момент выпуска по номиналу и предусматривают в качестве дохода выплату процентов, начисляемых по простым или сложным ставкам.

Обратимся к наиболее распространенному виду сертификата - с разовой выплатой процентов и рассмотрим три возможных варианта операции купли - продажи:

а) покупается по номиналу, продается за 2 дней до погашения;

б) покупается после выпуска и погашается в конце срока;

в) покупается и продается в пределах объявленного срока.

Для варианта а) получим знакомое равенство (34), однако символы здесь имеют другое содержание:

P1 – номинал; P2 – цена продажи; 1, 2 – сроки погашения.

Доходность определяется по уравнению (35), если расчет исходит из цен сертификата.

Если же в качестве исходных параметров берутся процентные ставки r1 и r2 (r1 – объявленная ставка сертификата, r2 – рынка в момент продажи), тo:

, (40)

для сложных процентов:

, (41)

Вариант в Здесь справедливо равенство:

, (42)

где: P1 – номинал; P2 – цена приобретения; r – объявленная % ставка

, (43)

Для сложных процентов:

, (44)

Форфейтовые операции.

К форфетированию прибегают при продаже какого-либо крупного

объекта (судна, предприятия, крупной партии товара). Покупатель приобретает товар в условиях, когда у него нет соответствующих денежных ресурсов. Продавец не может отложить получение денег на будущее и продать товар в кредит. В этом случае покупатель выписывает комплект векселей на сумму, равную стоимости товара плюс проценты за кредит, который как бы предоставляется покупателю продавцом. Сроки векселей равномерно распределены во времени (обычно - полугодия). Продавец сразу же после получения портфеля векселей учитывает его в банке без права оборота на себя, получая деньги в самом начале сделки. Банк, форфейтируя сделку, берет весь риск на себя. В качестве 4- го агента сделки иногда выступает гарант-банк покупателя.

Сумма, проставленная на векселе , состоит из двух элементов: суммы, погашающий основной долг (цену товара), и процентов за кредит. Последние определяются двумя способами:

а) % на остаток задолженности; в этом случае срок, за который они начисляются, начинается с момента погашения предыдущего векселя;

б) % на сумму долга, включенную в вексель; в этом случае срок начисляется от начала сделки и до момента погашения векселя.

Сумма портфеля векселей по варианту а) составит:

, (45)

где Р - цена товара; n - число векселей ; r - ставка простых % за период.

Сумма портфеля векселей по ваарианту б) составит:

, (46)

При учете портфеля векселей в банке продавец получит некоторую сумму A, которая по варианту а вычисляется по уравнению:

, (47)

где d - простая учетная ставка

По варианту б):

, (48)

Величину в квадратных скобках называют корректируемым множителем. Если он не равен 1 то цену P увеличивают или уменьшают со-

ответственно.

При форфейтовых операциях большое значение имеет анализ позиций продавца, покупателя и банка. Приведем без вывода формул

качественную оценку их позиций.

Позиция продавца: остерегается существенного повышения цены, стремится компенсировать свои потери за счет снижения учетной ставки, повышения ставки % за кредит, уменьшения числа векселей.

Позиция покупателя : найти значение n , минимизирующее w - издержки.

Позиция банка : оптимизировать учетную ставку.

1.6. Налоги и инфляция

Налоги на полученные проценты.

При начислении простых процентов

. (49)

где - реально наращенная сумма, g – ставка налога на %.

В долгосрочных операциях при начислении налога на сложные % возможны следующие варианты: налог начисляется на весь срок сразу или последовательно в конце каждого года. В первом случае:

, (50)

Во втором случае налог определяется за каждый истекший год. Сумма налогов за весь срок не зависит от метода начисления.

, (51)

Инфляция.

Изменение покупательской способности денег за некоторый период измеряется с помощью индекса

- индекс цен.

Под темпом инфляции понимается относительный прирост цен за период (H), измеряется в %.



Например, если темп инфляции равен 130 % , то цены за этот период выросли в 2,3 раза.

Среднегодовые темп роста цен и темп инфляции (h) находятся на основе величины

.

Поскольку инфляция является цепным процессом (цены в текущем периоде, повышаются на % относительно уровня, сложившегося в предыдущий период), то индекс цен за несколько таких периодов равен произведению цепных индексов цен:

; (52)

Если h - постоянный ожидаемый (или прогнозируемый) темп инфляции за период, то за n таких периодов получим:

, (53)

Рассмотрим проблему обесценивания денег при их наращении. В общем случае:

, (54)

При наращении по простой ставке, имеем:

, (55)

Увеличение наращенной суммы с учетом сохранения покупательной способности денег имеет место тогда, когда .

При наращении по сложным процентам

, (56)

Если h/100 < r происходит малый рост. Ставка по простым процентам , которая только компенсирует инфляцию определяется по уравнению:



Для сложных процентов .

Ставку, превышающую , называют положительной ставкой процента .


следующая страница >>