microbik.ru
1
ПРОГРАММА ПО МАТЕМАЕИКЕ

примерные варианты заданий

для участников “Недели информатики для школьников России”
ОПЕРАЦИИ С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ, ТОЖДЕСТВЕННЫЕ

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ


  1. Арифметические операции с целыми и рациональными числами,

свойства арифметических операций

  1. Формулы сокращенного умножения

  2. Модуль действительного числа

  3. Операция возведения в степень, операции с радикалами

  4. Многочлены и их свойства, разложение многочленов на множители

  5. Доказательство алгебраических тождеств

  6. Упрощение алгебраических выражений и нахождение их значений


УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ НЕИЗВЕСТНОЙ


  1. Рациональные уравнения

  2. Иррациональные уравнения

  3. Уравнения с модулем



СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ


  1. Системы линейных уравнений, понятие о методе Гаусса

  2. Системы рациональных уравнений

  3. Системы, содержащие иррациональные уравнения и уравнения с модулем

  4. Текстовые задачи на движение и работу

  5. Текстовые задачи на смеси и проценты


НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ НЕИЗВЕСТНОЙ





  1. Системы и совокупности неравенств с одним неизвестным

  2. Решение рациональных неравенств методом интервалов

  3. Неравенства с модулем

  4. Иррациональные неравенства


ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ





  1. Определение и основные свойства функций, область определения и

множество значений функции, обратная функция

  1. Графики функций, преобразования графиков функций


ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ





  1. Основные свойства показательной и логарифмической функций,

свойства логарифмов, логарифмирование и потенцирование

  1. Тождественные преобразования показательных и логарифмических

выражений

  1. Показательные и логарифмические уравнения

  2. Показательные и логарифмические неравенства



ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРОГРЕССИИ


  1. Понятие числовой последовательности

  2. Арифметическая прогрессия

  3. Геометрическая прогрессия, бесконечно убывающая геометрическая

прогрессия

  1. Текстовые задачи на прогрессии


ТРИГОНОМЕТРИЯ




  1. Градусная и радианная меры углов. Определение и основные свойства

тригонометрических функций. Обратные тригонометрические функции. Графики

  1. Формулы тригонометрии (основные тригонометрические тождества,

теоремы сложения, формулы двойного, тройного и половинного аргументов,

формулы преобразования суммы в произведение и произведения в сумму,

формулы понижения степени, формулы приведения, универсальная

тригонометрическая подстановка)

  1. Тождественные преобразования тригонометрических выражений,

доказательство тригонометрических тождеств

  1. Вычисление значений тригонометрических функций и выражений

  2. Тригонометрические уравнения

  3. Тригонометрические неравенства


ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ





  1. Линейные и квадратичные уравнения, системы и неравенства, включающие

параметр

  1. Иррациональные уравнения и неравенства с параметром

  2. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства с параметром

  3. Тригонометрические уравнения и неравенства с параметром


ПРИМЕРЫ ВАРИАНТОВ

ОЧНОГО ТУРА ПО МАТЕМАТИКЕ


1 вариант



  1. Упростить . [1]

  2. Вычислить значение выражения [1]

  3. Вычислить [1]




  1. Решить систему уравнений . [1]

  2. Решить неравенство [2]

  3. Вычислить значение, если известно, что [2]




  1. Решить уравнение . [2]

  2. Решить неравенство [2]




  1. В соревновании по спортивному ориентированию участвуют три спортсмена: Павлов, Романов и Семёнов. По условиям соревнования спортсмены должны преодолеть некоторое расстояние от точки A до точки B и вернуться обратно. Первым стартует Павлов, через 15 мин – Романов, ещё через 10 мин – Семёнов. Достигнув точки B и сразу повернув назад, Семёнов встречает Романова в 2 км от B, а Павлова – в 4,4 км от В. На дистанции от A до B имеется некоторая контрольная точка C, которую все спортсмены прошли одновременно. Найти скорость Семёнова, если расстояние между А и В равно 27 км. [3]



  1. Первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии на 4 меньше суммы чле­нов, стоящих на нечетных местах, а сумма всей прогрессии равна 15. Найти эту прогрес­сию. [3]




  1. Упростить [3]




  1. Определить число решений системы уравнений в зависимости от значения параметра . [3]



2 вариант




  1. Упростить [1]




  1. Найти область определения функции . [1]




  1. Решить неравенство [1]




  1. Упростить . [1]




  1. Решить уравнение [2]




  1. Сумма двух первых членов геометрической прогрессии с положительными членами равна 5, а сумма четырех первых членов равна 85. Найти арифметическую прогрессию, разность которой – число, противоположное знаменателю геометрической прогрессии, а сумма пяти членов на 1 меньше суммы пяти членов геометрической прогрессии. [2]




  1. Решить неравенство [2]




  1. Найти область определения функции [2]

  2. Упростить [3]




  1. При каких значениях параметра a уравнение имеет единственное решение? [3]




  1. Решить уравнение . [3]




  1. Найти значения b, при которых уравнение имеет ровно четыре действительных корня, образующих арифметическую прогрессию. [3]


3 вариант



  1. Упростить [1]




  1. Решить неравенство . [1]




  1. Упростить . [1]




  1. Решить неравенство . [1]




  1. Решить неравенство [2]




  1. Вычислить значение, если известно, что [2]




  1. Решить неравенство [2]




  1. Решить уравнение [2]




  1. Упростить при [3]




  1. Решить уравнение . [3]




  1. Решить уравнение при всех значениях параметра : . [3]




  1. В бассейн проведены шесть труб. Через первые три трубы вода втекает в бассейн, а через три другие вытекает. Если открыты все шесть труб, то бассейн заполняется за 45 минут; если открыты все трубы кроме шестой, то бассейн заполняется за 36 минут; если открыты все трубы кроме четвертой, то бассейн заполняется за 18 минут; если открыты все трубы кроме третьей, то полностью заполненный бассейн опорожняется за 3 часа. За какое время заполнится бассейн, если будут открыты первая, вторая и пятая трубы ? [3]



4 вариант



  1. Найти область определения функции . [1]




  1. Найти , если . [1]




  1. Решить неравенство [1]




  1. Упростить выражение [1]




  1. Решить неравенство [2]




  1. Упростить . [2]




  1. Решить систему уравнений [2]




  1. Решить неравенство . [2]




  1. При каких значениях a система неравенств не имеет решений ? [3]




  1. Имеется два водных раствора азотной кислоты, первый – 20%-ный, второй – 60%-ный. Первая смесь была получена из 15 л первого раствора и некоторого количества второго раствора. Смешав то же самое количество второго раствора с 5 л первого, получили вторую смесь. Сколько литров второго раствора было использовано для приготовления смесей, если известно, что процентное содержание воды во второй смеси в 2 раза больше процентного содержания кислоты в первой? [3]




  1. Решить уравнение [3]




  1. Упростить . [3]