microbik.ru
1
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

ГОУ НПО профессиональное училище № 37

ПРОЕКТ:

«РАЗРАБОТКА МЕТОДИЧЕСКИХ РЕКОМЕНДАЦИЙ РЕШЕНИЯ

КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРАМИ»

Выполнила –

Мацук Галина Николаевна,

преподаватель математики ГОУ НПО

профессионального училища № 37 МО.

Г.Ногинск, 2011

Содержание.

1. Введение

2. Цели, основные задачи, методы, технологии, требования к знаниям.

3. Методика решения квадратных уравнений с параметрами в общем виде.

4. Методика решения квадратных уравнений при начальных условиях.

5. Параметр как равноправная переменная.

6. Методика решения квадратных неравенств с параметрами в общем виде.

7. Методика решения квадратных неравенств при начальных условиях.

8.Заключение.

9.Литература.


  1. Введение.

Основная задача обучения математике в профессиональном училище заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения обучающимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования, а также в профессиональной деятельности, требующей достаточной высокой математической культуры.

Профилированное обучение математике осуществляется через решение задач прикладного характера, связанных с профессиями по металлообработке, электромонтажным работам, деревообработке. Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля общения, проявляющегося в определенных умственных навыках. Задачи с параметрами обладают диагностической и прогностической ценностью. С их помощью можно проверить знания основных разделов элементарной математики, уровень логического мышления, первоначальные навыки исследовательской работы.

Обучение задачам с параметрами требует от обучающихся больших умственных и волевых усилий, развитого внимания, воспитания таких качеств, как активность, творческая инициатива, коллективно-познавательный труд. Задачи с параметрами ориентированы для изучения во время обобщающего повторения на 2 курсе в период подготовки к итоговой государственной аттестации и на 3 курсе на дополнительных занятиях при подготовке обучающихся, изъявивших желание сдавать выпускные экзамены в форме ЕГЭ.

Основным направлением модернизации математического образования является отработка механизмов итоговой аттестации через введение ЕГЭ. В заданиях по математике в последние годы вводятся задачи с параметрами. Обязательны такие задания на вступительных экзаменах в вузы. Появление таких задач очень актуально, так как с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления абитуриента. Анализ предыдущих результатов ЕГЭ за несколько предыдущих лет показывает, что выпускники с большим трудом решают такие задания, а многие даже не приступают к ним. Большинство либо вовсе не справляются с такими заданиями, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках. В связи с этим возникла необходимость в проведении в выпускных группах при подготовке к экзаменам специальных тем по решению задач с параметрами и задач прикладного характера, связанных с профессиональной направленностью.

Изучение данных тем предназначено для обучающихся 3 курса, которые хотят научиться способам решения задач повышенного уровня сложности по алгебре и началам анализа. Решение таких задач вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение или неравенство с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений и неравенств, для каждого из которых должно быть получено решение.

В процессе решения задач с параметрами в арсенал приемов и методов человеческого мышления естественным образом включаются индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ, классификация и систематизация, аналогия. Так как в учебном плане в профессиональных училищах предусмотрено проведение консультаций по математике, которые имеются в расписании учебных занятий, то для обучающихся, обладающих достаточной математической подготовкой, проявляющих интерес к изучаемому предмету, имеющих дальнейшей целью поступление в вуз, целесообразно использовать указанные часы для решения задач с параметрами для подготовки к олимпиадам, математическим конкурсам, различного рода экзаменам, в частности ЕГЭ. Особенно актуально решение таких задач для прикладного и практического характера, которое поможет при проведении различных исследований.

2. Цели, основные задачи, методы, технологии, требования к знаниям.
Цели проекта:


  • Формирование умений и навыков по решению задач с параметрами, сводящихся к исследованию квадратных уравнений и неравенств.

  • Формирование интереса к предмету, развитие математических способностей, подготовка к ЕГЭ.

  • Расширение математических представлений о приемах и методах решения уравнений и неравенств.

  • Развитие логического мышления и навыков исследовательской деятельности.

  • Приобщение к творческой, исследовательской и познавательной деятельности.

  • Обеспечение условий для самостоятельной творческой работы.

  • Воспитание у обучающихся умственных и волевых усилий, развитого внимания, активности, творческой инициативы, умений коллективно-познавательного труда.


Основные задачи проекта:


  • Предоставить обучающимся возможность реализовать свой интерес к математике и индивидуальные возможности для его освоения.

  • Способствовать усвоению фактических знаний и умений.

  • Показать практическую значимость задач с параметрами в сфере прикладного исследования.

  • Научить способам решения стандартных и нестандартных уравнений и неравенств.

  • Углубить знания по математике, предусматривающие формирование устойчивого интереса к предмету.

  • Выявить и развить математические способности обучающихся.

  • Обеспечить подготовку к поступлению в вузы.

  • Обеспечить подготовку к профессиональной деятельности, требующей высокой математической культуры.

  • Организовать исследовательскую и проектную деятельность, способствующую развитию интеллектуальных и коммуникативных качеств.


Методы, используемые при проведении занятий:


  • Лекция – для передачи теоретического материала, сопровождающаяся беседой с обучающимися.

  • Семинары – для закрепления материла по обсуждению теории.

  • Практикумы – для решения математических задач.

  • Дискуссии – для аргументации вариантов своих решений.

  • Различные формы групповой и индивидуальной деятельности.

  • Исследовательская деятельность, которая организуется через: работу с дидактическим материалом, подготовку сообщений, защиту рефератов и творческих работ.

  • Лекции – презентации с использованием компьютера и проектора.


Используемые технологии:


  • Лекционно-семинарская система обучения.

  • Информационно-коммуникационные технологии.

  • Исследовательский метод в обучении, направленный на развитие мыслительных способностей.

  • Проблемное обучение, предусматривающую мотивацию к исследованию путем постановки проблемы, обсуждение различных вариантов проблемы.

  • Технология деятельностного метода, помогающая вывить познавательные интересы обучающихся.


Требования к знаниям обучающихся.
В результате изучения различных способов решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами обучающиеся должны приобрести умения:

  • Прочно усвоить понятие параметра в квадратном уравнении и квадратном неравенстве;

  • Уметь решать квадратные уравнения с параметрами.

  • Уметь решать квадратные неравенства с параметрами.

  • Находить корни квадратичной функции.

  • Строить графики квадратичных функций.

  • Исследовать квадратичный трехчлен.

  • Применять рациональные приемы тождественных преобразований.

  • Использовать наиболее употребляемые эвристические приемы.

  • Уметь применять полученные знания при работе на персональном компьютере.


Формы контроля.


  • Уроки – самооценки и оценки товарищей.

  • Презентация учебных проектов.

  • Тестирование.

  • Рейтинг – таблица.

  • Домашние задачи из сборников по ЕГЭ прошлых лет.

  • Контрольные работы.

3. Методика решения квадратных уравнений с параметрами в общем виде.
Не надо бояться задач с параметрами. Прежде всего при решении уравнений и неравенств с параметрами надо сделать то, что делается при решении любого уравнения и неравенства – привести заданные уравнения или неравенства к более простому виду, если это возможно: разложить рациональное выражение на множители, сократить, вынести множитель за скобки и т.д. Встречаются задачи, которые можно разделить на два больших класса.

В первый класс можно отнести примеры, в которых надо решить уравнение или неравенство при всех возможных значениях параметра.

Ко второму классу отнесем примеры, в которых надо найти не все возможные решения, а лишь те из них, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям. Класс таких задач неисчерпаем.

Наиболее понятный для обучающихся способ решения таких задач состоит в том, что сначала находят все решения, а затем отбирают те, которые удовлетворяют дополнительным условиям.

При решении задач с параметрами иногда удобно строить графики в обычной плоскости (х,у), а иногда лучше рассмотреть графики в плоскости (х,а), где х – независимая переменная, а «а» – параметр. Это прежде всего возможно в задаче, где приходится строить знакомые элементарные графики: прямые, параболы, окружности и т.д. Кроме того эскизы графиков иногда помогают наглядно увидеть и «ход» решения.

При решении уравнений f (х,а) = 0 и неравенств f (х,а) › 0 надо помнить, что в первую очередь рассматривают решение при тех значениях параметра, при которых обращается в ноль коэффициент при старшей степени х квадратного трехчлена f (х,а), понижая тем самым степень. Квадратное уравнение А(а) х2 + В(а) х + С(а) = 0 при А(а) = 0 превращается в линейное, если при этом В(а) ≠ 0, а методы решения квадратных и линейных уравнений различны.

Вспомним основные формулы для работы с квадратными уравнениями.

Уравнение вида ах2 + вх + с = 0, где х R – неизвестные, а, в, с – выражения, зависящие только от параметров, причем а ≠ 0, называется квадратным уравнением, а D = b2 – 4ас называется дискриминантом квадратного трехчлена.

Если D< 0, то уравнение не имеет корней.

Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня

х1 = , х2 = , и тогда ах2 + вх + с = а (х – х1) (х – х2).

Эти корни через коэффициенты уравнения связаны формулами Виета


Если D = 0, то уравнение имеет два совпадающих корня х1 = х2 = , и тогда ах2 + вх + с = а (х – х1)2 . В этом случае говорят, что уравнение имеет одно решение.

Когда , т.е. = 2к, корни квадратного уравнения определяются по формуле х1,2 = ,

Для решения приведенного квадратного уравнения х2 + pх + q = 0

Используется формула х1,2 = - , а также формулы Виета



Допустимыми будем считать только те значения параметров, при которых а, в, с – действительны.
Примеры. Решить уравнения:
Пример 1. + =
Решение:

При а ≠ - 1, х ≠ 2 получаем х2 + 2ах – 3в + 4 = 0 и корни

х1 = - а - , х2 = -а + , существующие при

а2 + 2а – 4  0, т.е. при

Теперь проверим, нет ли таких а, при которых либо х1, либо х2 равен 2. Подставим в квадратное уравнение х = 2, при этом получим а = - 8.

Второй корень в таком случае равен (по теореме Виета) и при а = - 8 равен 14.

Ответ: при а = - 8 единственное решение х = 14;

Если а ( - ∞; - 8)  (- 8; - 4)  (1; + ∞) – два корня х1 и х2 ;

Если а = - единственное решение х = соответственно;

Если а ( - 4; 1), то х .
Иногда уравнения с дробными членами приводятся к квадратным. Рассмотрим следующее уравнение.
Пример 2. - =

Решение: При а = 0 оно не имеет смысла, значение х должно удовлетворять условиям: х  -1, х  -2. Умножив все члены уравнения на а (х + 1) (х +2)  0,

Получим х2 – 2(а – 1)х + а2 – 2а – 3 = 0, равносильное данному. Его корни:

х1 = а + 1, х2 = - 3. Выделим из этих корней посторонние, т.е. те, которые равны – 1 и – 2:

х1 = а + 1 = - 1, а = - 2, но при а = - 2 х2 = - 5;

х1 = а + 1 = - 2, а = - 3, но при а = - 3 х2 = - 6;

х2 = а - 3 = - 1, а = 2, но при а = 2 х1 = 3;

х2 = а - 3 = - 2, а = 1, но при а = 1 х1 = 2.

Ответ: при а ≠ 0, а ≠  2, , а ≠ - 3, , а ≠ 1 х1 = а + 1, х2 = а – 3;

при а = - 2 х = - 5; при а = - 3 х = - 6.

4.Методика решения квадратных уравнений при начальных условиях.
Условия параметрических квадратных уравнений разнообразны. Например, нужно найти значение параметра при котором корни: положительны, отрицательны, имеют разные знаки, больше или меньше какого-либо числа и т.д. Для их решения следует использовать свойства корней квадратного уравнения ах2 + вх + с = 0.

Если D > 0, а > 0, то уравнение имеет два действительных различных корня, знаки которых при с > 0 одинаковы и противоположны знаку коэффициента в, а при с < 0 – разные, причем по абсолютной величине больше тот из корней, знак которого противоположен знаку коэффициента в.

Если D = 0, а > 0, то уравнение имеет действительные и равные между собой корни, знак которого противоположен знаку коэффициента в.

Если D < 0, а > 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Аналогично можно установить свойства корней квадратного уравнения и для а < 0. Кроме того справедливы следующие утверждения:

  1. Если в квадратном уравнении поменять местами коэффициенты а и с, то получим уравнение, корни которого обратны корням данного.

  2. Если в квадратном уравнении поменять знак коэффициента в, то получим уравнение, корни которого противоположны корням данного.

  3. Если в квадратном уравнении коэффициенты а и с имеют разные знаки, то оно имеет действительные корни.

  4. Если а > 0 и D = 0, то левая часть квадратного уравнения – есть полный квадрат, и наоборот, если левая часть уравнения есть полный квадрат, то а > 0 и D = 0.

  5. Если все коэффициенты уравнения рациональны и дискриминант выражает полный квадрат, то корни уравнения рациональны.

  6. Если рассматривается расположение корней относительно нуля, то применяем теорему Виета.

Отбор корней квадратного трехчлена по условиям и расположение нулей квадратичной функции на числовой прямой.
Пусть f (х) = ах2 + вх + с, а  0, корни х1˂ х2,  ˂ .





Расположение корней на числовой прямой.

Необходимое и достаточное условие.

1

х1, х2 < 

а f ( ) > 0, D  0, х0 < 

2

х1, х2 > 

а f ( ) > 0, D  0, х0 > 

3

х1 <  < х2

а f ( ) < 0

4

 < х12 < .

а f ( ) > 0, D  0, а f ( ) > 0

 < х0 < .

5

 < х1 <  < х2

а f ( ) > 0, , а f ( ) < 0

6

х1 < < х2 < 

а f ( ) < 0, , а f ( ) > 0

7

х1 < < < х2

а f ( ) < 0, , а f ( ) < 0


Пример 3. Установить, при каких значениях а уравнение

х2 – 2 (а – 1) х + 2а + 1 = 0

  • не имеет корней:

необходимое и достаточное условие D < 0,

D = (а – 1)2 – 2а – 1 = а2 – 4а < 0, 0 < а < 4;

  • имеет корни:

D  0, D = (а – 1)2 – 2а – 1 0, а

  • имеет один корень:

принято считать совпадающие корни как одно решение. Тогда условие существования одного решения: D = 0 или а = 0, а = 4;

  • имеет два корня:

D > 0, т.е. а 

  • имеет положительные корни:

= 2(а – 1) > 0   а  4

Если вопрос будет «имеет два положительных корня», то в системе следует заменить D > 0;

  • имеет отрицательные корни:

= 2(а – 1) < 0  < а ≤ 0;

  • имеет корни разного знака, т.е. один положительный, а другой отрицательный:

 а < ;


Условие использовать не обязательно, достаточно х1 х2 < 0

  • имеет один из корней , равный 0:

необходимое достаточное условие – равенство нулю свободного члена уравнения, т.е. 2а + 1 = 0, а = -1/2.

Знак второго корня определяется или подстановкой в исходное уравнение а = -1/2, или, проще, по теореме Виета х1 + х2 = 2 (а – 1), и после подстановки а = -1/2 получаем х2 = - 3, т.е. при а = -1/2 два корня: х1 = 0, х2 = - 3.

Пример 4. При каких значениях параметра а уравнение

(а – 2) х2 – 4ах +3 -2а = 0 имеет единственное решение, удовлетворяющее неравенству х
Решение.

Дискриминант 2 – (а – 2)(3 – 2а)

2 – 3а + 6 + 2а2 – 4а = 6а2 – 7а + 6

Так как 49 – 144 = - 95 и первый коэффициент 6 то 6а2 – 7а + 6 при всех х  R.

Тогда х1,2 = .

По условию задачи х 2, тогда получим неравенство

Имеем:



верно при всех а  R.


  1. или

2 – 7а + 62 – 7а - 10 2

а1,2 = 1/12 (7 17), а1 = 2, а2 = - 5/6.

Следовательно, -5/6
Ответ: -

5. Параметр как равноправная переменная.

Во всех разобранных задачах параметр рассматривался как фиксированное, но неизвестное число. Между тем с формальной точки зрения параметр – это переменная, причем «равноправная» с другими, присутствующими в примере. К примеру, при таком взгляде на параметр формы f (х; а) задают функции не с одной (как ранее), а с двумя переменными. Подобная интерпретация, естественно формирует еще один тип (а точнее метод решения, определяющий этот тип) задач с параметрами. Покажем аналитическое решение такого типа.

Пример 5. На плоскости ху укажите все точки, через которые не проходит ни одна из кривых семейства у = х2 – 4рх + 2р2 – 3, где р – параметр.
Решение: Если (х00) – точка, через которую не проходит ни одна из кривых заданного семейства, то координаты этой точки не удовлетворяют исходному уравнению. Следовательно, задача свелась к тому, чтобы найти зависимость между х и у, при которой данное в условии уравнение не имело бы решений. Нужную зависимость несложно получить, сосредоточив внимание не на переменных х и у, а на параметре р. В этом случае возникает продуктивная идея: рассмотреть данное уравнение как квадратное относительно р. Имеем

2 – 4рх+ х2 – у – 3 = 0. Дискриминант = 8х2 + 8у + 24 должен быть отрицательным. Отсюда получаем у ˂ - х2 – 3, следовательно, искомое множество – это все точки координатной плоскости, лежащие «под» параболой у = - х2 – 3.
Ответ: у < - х2 – 3

6. Методика решения квадратных неравенств с параметрами

в общем виде.
Квадратными (строгими и нестрогими) называются неравенства вида




Допустимыми являются те значения параметров, при которых а,в,с – действительны. Квадратные неравенства удобно решать либо аналитическим способом, либо графическим. Так как графиком квадратичной функции является парабола, то при а > 0 ветви параболы направлены вверх, при а < 0 ветви направлены вниз.

Различное положение параболы f (х) = ах2 + вх + с, а  0 при а > 0 показано на рис.1

c:\users\эльмира\desktop\мацук г\галина николаевна\image6.bmp
а) в) с)
а) Если f (х) > 0 и D < 0, то парабола расположена полностью над осью абсцисс и х R;

б) Если f (х) > 0 и D = 0, то х;

в) Если f (х) > 0 и D > 0, то х (-; х1 )  (х2; + ).
Аналогично рассматриваются положения параболы при а < 0.

c:\users\эльмира\desktop\мацук г\галина николаевна\image1 стр 13.bmp

Например, один из трех случаев, когда

при а < 0 D > 0 и f (х) > 0 х  (х1; х2);

при а < 0 D > 0 и f (х) < 0 х  (-; х1)  (х2; + ).
В качестве примера рассмотрим решение неравенства.
Пример 6. Решить неравенство х2 + 2х + а > 0.

Пусть D – дискриминант трехчлена х2 + 2х + а > 0. При D = 0, при а = 1, неравенство примет вид:

(х + 1)2 > 0

Оно верно при любых действительных значениях х, кроме х = - 1.

При D > 0, т.е. при х, трехчлен х2 + 2х + а имеет два корня: - 1 – и

- 1 + и решением неравенства служит промежуток

( - ; - 1 – )  (- 1 + ; + )

Это неравенство легко решить графически. Для этого представим его в виде

х2 + 2х > - а

и построим график функции у = х2 + 2х

Абсциссы точек пересечения этого графика с прямой у = - а и являются корнями уравнения х2 + 2х = - а.

Ответ:

при –а > - 1, т.е. при а, х  (- ; х1 )  (х2;+ );

при – а = - 1, т.е. при а = 1, х – любое действительное число, кроме - 1;

при – а , т.е при а > 1, х – любое действительное число.
Пример 7. Решить неравенство сх2 – 2 (с – 1)х + (с + 2)
При с = 0 оно принимает вид: 2х + 2 решением будет х < - 1.

Введем обозначение f (х) = сх2 – 2 (с – 1)х + (с + 2) где с ≠ 0.

В этом случае неравенство f (х) < 0 квадратное относительно х.

Пусть и D – дискриминант f (х). 0,25 D = 1 – 4с.

Если D > 0, т.е. если с > 0,25, то знак f (х) совпадает со знаком с при любых действительных значениях х, т.е. f (х) > 0 при любых хR, значит, при с > 0,25 неравенство f (х) < 0 не имеет решения.

Если D = 0, т.е. с = 0,25, то f (х) = (0,25 х + 1,5)2, т.е. f (х)  0 при любом

х R. Следовательно, при с = 0,25 неравенство f (х) < 0 тоже не имеет решения.

Рассмотрим случай D < 0, т.е. с < 0,25 (с  0). f (х) = 0 при двух действительных значениях х:

х1 = ( с – 1 – ) и х2 = ( с – 1 + ).

Здесь могут представиться два случая:

  1. с < 0.

Решить неравенство f (х) < 0 – значит найти те решения х, при которых знак

f (х) совпадает со знаком с. Чтобы ответить на этот вопрос, заметим, что – < – , т.е. с – 1 – ˂ с – 1 + ,но так как с < 0, то ( с – 1 – ) < ( с – 1 + ) и поэтому решением неравенства будет:

( - ; ( с – 1 – ))  ( ( с – 1 + ); + ).

  1. 0 < с < 0,25

Теперь для решения неравенства достаточно указать те значения с, при которых знак f (х) противоположен знаку с. Так как при 0 < с < 0,25, х1 < х2, то х  (х1 ; х2).

Ответ: при с = 0 х R;

при с <˂ 0 х ( - ; х2)  (х1; + );

при 0< с < 0,25 х ( х1 ; х2);

при с  0,25 решений нет.
Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит свое отражение в графических методах решения и квадратных неравенств. В самом деле, поскольку параметр «равен в правах» с переменной, то ему естественно, можно «выделить» и свою координатную ось. Таким образом возникает координатная плоскость (х; а). Такая незначительная деталь, как отказ от традиционного выбора букв х и у для обозначения осей, определяет один из самых эффективнейших методов решения задач с параметрами.

Удобно, когда в задаче фигурирует один параметр а и одна переменная х. Сам процесс решения схематично выглядит так. Вначале строится графический образ, затем, пересекая полученный график прямыми, перпендикулярными параметрической оси, «снимаем» нужную информацию.

Отказ от традиционного выбора букв х и у для обозначения осей, определяет один из эффективнейших методов решения задач с параметрами – «метод областей»


  1. Методика решения квадратных неравенств при начальных условиях.

Рассмотрим аналитическое решение квадратного неравенства с параметрами, результаты решения которого рассматриваются на числовой прямой.
Пример 8.

Найдите все значения х, для каждого из которых неравенство

(2-х )а2 +(х2 -2х+3)а-3х≥0

выполняется для любого значения а, принадлежащего промежутку [-3;0].

Решение. Преобразуем левую часть данного неравенства следующим образом:

(2-x)а2 + (x2 -2x+3)а-3х=ах2 - а2х - 2ах + 2а2 + 3а - 3x =

= ах (х - а)-2а(х - а)- 3(х-а) = (x - а)(аx- 2а - 3).

Данное неравенство примет вид: (x - а) (аx - 2а - 3) ≥ 0.

Если а = 0, получаем — Зх ≥ 0 <=> x ≤ 0.

Если а ≠ 0, то -3 а < 0, и исходное неравенство запишем в виде:



Так как а < 0, то решением этого неравенства будет промежуток числовой оси, расположенный между корнями соответствующего неравенству уравнения.

Выясним взаимное расположение чисел а и , учитывая при этом условие - 3 ≤ а < 0:

,<=> ,<=>,<=> -3 ≤a < -1,

, <=>,<=>,<=> -1< a < 0,

, <=>, <=> a = -1.

Представим во всех рассмотренных случаях решения данного неравенства в зависимости от значений параметра:

c:\documents and settings\александра\local settings\temporary internet files\content.word\image5 стр 76.bmp

Получим, что только х = -1 является решением данного неравенства при любом значении параметра а .

Ответ: -1


  1. Заключение.


Почему мной был выбран проект по теме «Разработка методических рекомендаций решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами»? Так как при решении любых тригонометрических, показательных, логарифмических уравнений, неравенств, систем мы чаще всего приходим к рассмотрению иногда линейных, а чаще всего квадратных уравнений и неравенств. При решении сложнейших задач с параметрами большинство заданий сводится с помощью равносильных преобразований к выбору решений типа: а (х – а) (х – с) > 0 (<0), где а и с – корни квадратного трехчлена, с – фиксированное число, а – параметр, х – независимая переменная. Речь идет только о взаимном расположении значений а и с на числовой прямой. Решаем такие неравенства методом областей. Поэтому именно этому типу важных задач необходимо уделить большое внимание.

Мы рассмотрели теоретические основы для решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами. Вспомнили необходимые формулы и преобразования, рассмотрели различные расположения графиков квадратичной функции в зависимости от значения дискриминанта, от знака при старшем коэффициенте, от расположения корней, вершины параболы. Выявили схему решения и выбора результатов, составили таблицу.

В проекте показаны аналитические и графические методы решения квадратных уравнений и неравенств. Обучающимся в профессиональном училище необходимо зрительное восприятие материала для лучшего усвоения материала. Показано, как можно поменять переменную х и принять параметр как равноправную величину.

Для наглядного усвоения данной темы рассмотрено решение 8 задач с параметрами, по 1 – 2 для каждого раздела. В примере № 1 рассмотрено количество решений при различных значениях параметра, в примере № 3 проводится разбор решения квадратного уравнения при самых различных начальных условиях. Для решения квадратных неравенств сделана графическая иллюстрация. В примере № 5 применяется метод замены параметра как равноправной величины. В проект включено рассмотрение примера № 8 из заданий, включенных в раздел С, для интенсивной подготовки к сдаче ЕГЭ.

Для качественной подготовки обучающихся решению задач с параметрами рекомендуется в полном объеме использовать мультимедийные технологии, а именно: использовать для лекций презентации, электронные учебники и книги, собственные разработки из медиатеки. Очень эффективны бинарные уроки математика + информатика. Незаменимым помощником преподавателю и учащемуся является Интернет. В презентации необходимы импортированные объекты из существующих образовательных ресурсов. Наиболее удобным и приемлемым в работе является ЦОР «Использование Microsoft Office в школе».

Разработка методических рекомендаций по данной тематике облегчит работу молодых преподавателей, пришедших работать в училище, пополнит портфолио преподавателя, послужит образцом для специальных предметов, образцы решений помогут обучающимся справиться со сложными заданиями.


  1. Литература.


1.Горнштейн П.И., Полонский В.Б., ЯкирМ.С. Задачи с параметрами. «Илекса», «Гимназия», Москва – Харьков, 2002.

2.Балаян Э.Н. Сборник задач по математике для подготовки к ЕГЭ и олимпиадам. 9-11 классы. «Феникс», Ростов-на Дону, 2010.

3.Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. М., «Просвещение», 1986.

4.Колесникова С.И. Математика. Решение сложных задач Единого государственного экзамена. М. «АЙРИС – пресс», 2005.

5.Родионов Е.М., Синякова С.Л. Математика. Пособие для поступающих в вузы. Учебный центр «Ориентир» МГТУ им. Н.Э. Баумана, М., 2004.

6. Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих в вузы: В 2 кн. Кн.1, М., 2009.