microbik.ru
1 2 3

Прокл

ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ


ЧАСТЬ I

Определения

I. Непрерывные суть те, края которых одно.

II. Касающиеся суть те, края которых вместе.

III. Следующие друг за другом суть те, между которыми нет ничего однородного им.

IV. Первое время движения есть то, которое не больше и не меньше движения1.

V. Первое место есть то, которое не больше охватываемого им тела и не меньше.

VI. Покоящееся есть то, что и ранее и позднее находится в одном и том же месте, как само, так и части.

1. Два неделимых не касаются друг друга.

Допустим, два неделимых А и В касаются друг друга. Но касающимися были те, края которых в одном и том же. Это означает, что у двух неделимых будут края. Следовательно, А и В не неделимы.

2. Два неделимых2 не образуют ничего непрерывного.

Допустим, имеется два неделимых А и В, и пусть они вместе образуют непрерывное. Но все непрерывное сначала соприкасается. Следовательно, А и В касаются друг друга, будучи неделимыми, что невозможно.

Иначе: Допустим, непрерывное состоит из неделимых А и В. Тогда А касается В либо как целое целого, либо как целое части, либо частью части3 . Но если как целое части или частью части, то А и В не будут неделимыми. Если же они касаются как целое целого, то не получится непрерывного, а одно всего лишь совпадет с другим ((tm)farmТsei). Поэтому, если А не было непрерывным, то и В вместе с А не будет непрерывным, поскольку касается его как целое целого.

3. Промежуточное между неделимыми в непрерывном непрерывно4 .

Пусть имеются два неделимых А и В. Я утверждаю, что промежуточное между А и В непрерывно. Если это не так, то неделимое А касается неделимого В, что невозможно. Следовательно, промежуточное между ними непрерывно.

4. Два неделимых не могут быть следующими друг за другом.

Пусть имеются два неделимых А и В. Я утверждаю, что А не может следовать за В. В самом деле, поскольку было доказано, что промежуточное между двумя неделимыми непрерывно, пусть промежуточным между ними будет GD, и пусть оно будет разделено в Е. Тогда неделимое Е находится между А и В. Но следующими друг за другом назывались те, между которыми нет ничего однородного. Следовательно, А и В не могут следовать друг за другом.

5. Все непрерывное делимо на части, всякий раз снова делимые5 .

Пусть имеется непрерывное АВ. Я утверждаю, что АВ делится на части, всякий раз снова делимые. В самом деле, разделим его на АЕ и ЕВ. Они, в свою очередь, либо неделимы либо всегда делимы. Тогда, если они неделимы, то непрерывное будет состоять из неделимых, что невозможно, а если делимы, то разделим их снова. Если новые части неделимы, то неделимые одно с другим составят непрерывное, а если делимы, то разделим и их, и так до бесконечности. Все непрерывное, следовательно, делимо на части, всякий раз снова делимые.

6. Если некая величина будет состоять из неделимых, то и движение по ней будет из неделимых.

Пусть величина АВG состоит из неделимых А, В, G. Я утверждаю, что и движение по величине АВG будет состоять из неделимых. Пусть движением по ней будет DEZ, а движущимся пусть будет Q, и пусть оно движется движением D по А, движением Е по В и движением Z по G. Очевидно, что D или неделимо или делимо. Допустим, оно делимо и поделено надвое. Тогда Q пройдет половину прежде целого, а поскольку оно двигалось по А, то и А делимо, но по условию, оно было неделимым. Тогда неделимо и D. Точно так же доказывается, что неделимы Е и Z.

7. Если движение будет состоять из неделимых, то и время движения будет из неделимых.

Пусть движение АВG состоит из неделимых А, В, G, и пусть временем движения АВG будет DEZ. Я утверждаю, что и оно состоит из неделимых. Возьмем какое-нибудь движущееся Q, и пусть оно движется движением А в течение времени D, движением В - в течение Е, движением G - в течение Z. Я утверждаю, что D, E и Z неделимы. В самом деле, если D, в течение которого Q совершает движение А, делимо, разделим его. Тогда за половину времени Q совершит не полное А, а часть. Следовательно, движение А тоже делимо, однако, по условию, оно было неделимым. Тогда неделимо и D. Точно так же доказывается, что неделимы Е и Z.

8. Из движущихся с неравной скоростью более быстрое за равное время проходит большее расстояние.

Пусть имеются тела, движущиеся с неравной скоростью: более быстрое А и более медленное В, и пусть А движется из G в D в течение времени ZH. Тогда, поскольку В - более медленное, за время ZH оно еще не придет из G в D, потому что более быстрое приходит к цели раньше, а более медленное позже. Пусть тогда В за время ZH пришло в Е. Тогда за одно и то же время А прошло расстояние GD, а B - расстояние GE. Но GD больше GE, значит, более быстрое за одно и то же время проходит большее расстояние.

9. Для движущихся с неравной скоростью могут быть указаны промежутки времени (больший для более медленного, меньший для более быстрого), за которые более быстрое проходит большее расстояние, а более медленное - меньшее.

Пусть А и В движутся с неравной скоростью: А быстрее, В медленнее. Тогда, поскольку более быстрое за то же самое время проходит большее расстояние, пусть А за время ZH пройдет расстояние GD, а B - расстояние GE. Поскольку А за полное время ZH проходит расстояние GD, то GQ оно пройдет за меньшее чем ZH время. Возьмем меньший промежуток времени и назовем его ZK. Тогда, поскольку А за время ZK прошло расстояние GQ, а В за время ZH - расстояние GE, причем GQ больше GE, и время ZH больше ZK, то тем самым указаны промежутки времени - больший ZH для В и меньший ZK для А - за которые А прошло большее расстояние GQ, а В - меньшее расстояние GE, что и требовалось сделать.

10. Из движущихся с неравной скоростью более быстрое за меньшее время пройдет равное расстояние.

Пусть имеются тела, движущиеся с неравной скоростью: А быстрее, В медленнее, и пусть за время ZH A прошло расстояние GD, а В за то же самое время - меньшее расстояние GE. Тогда, поскольку за весь промежуток времени ZH A проходит расстояние GD, меньшее расстояние GE оно пройдет за меньшее время. Пусть оно проходит его за время ZK. В же проходило GE за время ZH. Но время ZH больше ZK, следовательно, равное расстояние GE A проходит за меньшее время, а В - за большее.

То же самое можно доказать иначе: Пусть A быстрее В, и пусть В проходит расстояние GE за время ZH. Тогда A проходит GE или за то же самое время, или за большее, или за меньшее. Но если за то же самое, то его скорость будет равна скорости В, а если за большее, то оно будет медленнее В, хотя должно быть быстрее. Следовательно, A пройдет расстояние GD за меньшее время, что и требовалось доказать.

11. Всякое время делимо до бесконечности, а также всякая величина и всякое движение.

Пусть A быстрее В, и пусть В за время ZH проходит расстояние GD. Тогда, поскольку было доказано, что более быстрое за меньшее время проходит равное расстояние, A пройдет GD за время, меньшее ZH, и тем самым время ZH будет поделено. Разделим его в Q. Тогда, поскольку A за время ZQ пройдет GD, В за то же самое время пройдет расстояние, меньшее GD (ведь было доказано также, что за равное время более быстрое проходит большее, а более медленное - меньшее расстояние), и тем самым разделит GD. Пусть оно разделит его в К. Поскольку В пройдет расстояние GK за время ZQ, A опять пройдет то же расстояние за меньшее время, как было доказано, и тем самым разделит время ZQ. Таким образом, делимость времени будет доказываться через более быстрое на основании предыдущей теоремы, а делимость величины - через более медленное на основании восьмой теоремы. Но если делимы они, то очевидно, что и движение делимо до бесконечности, поскольку было доказано, что если движение состоит из неделимых, то и время. Поэтому, если время делится до бесконечности, то точно так же и движение, что и требовалось доказать.

12. За конечное время нельзя пройти бесконечное расстояние.

Допустим, за конечное время GD A проходит бесконечную величину ZE, и пусть время GD будет поделено надвое в К. Тогда за время GK A проходит либо целое ZE либо его часть. Пройти целое оно, конечно, не может, поскольку A проходило целое за время GD. Пусть тогда оно проходит его часть QL. Далее, поскольку в течение времени КD оно проходит какую-то часть ZE (а не целое, как уже доказано), то пусть оно пройдет расстояние LM. Итак, расстояние QM пройдено за время GD, то есть конечное расстояние за конечное время; отсюда ясно, что бесконечное расстояние не может быть пройдено за время GD, поскольку невозможно пройти целое и часть за одно и то же время6 .

Отсюда ясно, что как целая величина относится к своей части, так время движения по целой величине у равномерно движущихся тел относится ко времени движения по части.

13. Никакая конечная величина не может быть пройдена за бесконечное время.

Пусть A - движущееся, ВG - конечная величина, DZ - бесконечное время движения, и пусть величина ВG будет поделена надвое. Очевидно, что A проходит половину величины BG и саму ее либо за бесконечное, либо за конечное время. Пусть оно проходит первую половину за бесконечное время. Однако все непрерывно движущееся проходит целое за большее время чем часть. Следовательно, расстояние BG будет пройдено за время, большее бесконечного, следовательно, не за бесконечное, следовательно, за конечное. Назовем его QL. Затем A проходит оставшуюся половину ВG, и на том же самом основании оно проходит ее не за бесконечное, а за конечное время. Назовем его LM. Итак, A проходит ВG за время QM - не за бесконечное, а за конечное, что и требовалось доказать.

14. Если дано, что одно тело быстрее другого в полтора раза, то можно доказать, что неделимых линий не существует.

Пусть A быстрее В в данном отношении и пусть даны три неделимых линии G, D, и Е, и еще две - Z и Q. A проходит G, D и Z, а В - Z и Q за равное время, так как отношение скорости одного к скорости другого - полтора. Пусть временем движения будет КLM. Тогда, поскольку доказано, что если величина состоит из неделимых, то и движение, а если движение, то и время, пусть К,L,M будут частями времени движения. Тогда A в течение промежутков времени К,L,M проходит G,D,E, но и В в течение тех же самых промежутков проходит Z и Q. Следовательно, время КLM разделится на движение по Z и по Q. Разделим его. Тогда неделимое L окажется разделенным, что невозможно. И поскольку более быстрое A в течение целого промежутка времени КLM проходит GDE, то за половину этого времени оно пройдет половину, следовательно неделимое D окажется разделенным, что невозможно7 .

15. Момент "теперь" один и тот же в прошедшем и будущем времени8 .

Допустим различные моменты "теперь", например, A и В. Как доказано раньше, они не могут быть следующими друг за другом. Тогда, если они отделены друг от друга, между ними будет время. Но всякое время, как было доказано, делимо до бесконечности. Разделим тогда промежуток времени АВ в G. Но поскольку A было концом всего прошедшего, а В - началом всего будущего, между ними не будет прошлого и будущего. Однако промежуток времени АВ все-таки был разделен в G, и поэтому в нем одно будет прошлым, а другое будущим, что невозможно. Следовательно, момент "теперь" один и тот же в прошедшем и будущем времени.

16. Момент "теперь" неделим.

В самом деле, если момент "теперь" один и тот же и в прошлом и в будущем, то он неделим. Ведь если он делим, получится то же самое следствие: в будущем будет что-то из прошлого, а в прошлом - из будущего, что невозможно. Следовательно, момент "теперь" неделим.

17. Все движущееся движется во времени.

Допустим, что-то движется в моменте "теперь", одно быстрее, другое медленнее. И пусть сначала более медленное проходит расстояние АВ. Очевидно, что более быстрое, если оно тоже пройдет АВ, пройдет его за меньшее время. Тогда момент "теперь" разделится, хотя, как было доказано, он неделим. Следовательно, в "теперь" ничто не движется, и следовательно, все движущееся движется во времени.

Пусть теперь более быстрое движется в моменте "теперь". Тогда расстояние, которое оно проходит, либо неделимо, либо делимо на части (merist"n). Однако было доказано, что неделимых линий не существует. Пусть тогда оно проходит делимое расстояние АВ, и пусть АВ будет разделено в G. Тогда, поскольку более быстрое за момент "теперь" проходит АВ целиком, АG оно пройдет меньше чем за "теперь". Следовательно, "теперь" делимо, что невозможно.

18. Все покоящееся покоится во времени.

В самом деле, если оно покоится в моменте "теперь", а не во времени, то и движется оно в моменте "теперь". Однако было доказано, что это невозможно. Следовательно, оно не может покоится в "теперь"9 .

Иначе: Если момент "теперь" один и тот же в прошлом и будущем (как было доказано), и можно покоится в прошлом и двигаться в будущем, то в том, что находится между ними нельзя ни покоиться, ни двигаться, поскольку в противном случае в одном и том же "теперь" тело будет и покоиться, и двигаться, что невозможно.

19. Все движущееся делимо на части.

Пусть нечто движется из A в B. Тогда, либо оно находится только в A или только в B, либо в обоих, либо ни в одном из них, либо какая-то его часть находится в А, а какая-то в B. Но если оно находится в А, то оно еще не движется, если в B - то уже не движется, а если ни в одном из них, то нет и его движения из A в B. Необходимо, следовательно, чтобы какая-то часть его была в А, а какая-то в B. Следовательно движущееся делимо10 .

20. Если какие бы то ни было части движения суть движения частей чего-то непрерывного, то целое движение будет движением целого.

Пусть DE - движение АВ, а ЕZ - движение ВG. Я утверждаю, что целое движение DZ будет движением целого АG. В самом деле, необходимо чтобы DZ было движением либо АG, либо частей АG, либо чего-то иного, поскольку движение есть движение чего-то движущегося. Ясно, что целое движение не может быть ни движением частей АG, так как движениями частей являются части этого движения, а не оно целиком, ни движением чего-то иного. В самом деле, если целое движение DZ есть движение чего-то иного, то и части его будут движениями частей этого иного, тогда как по условию, они были движениями частей АG. Кроме того, невозможно, чтобы единое по числу движение происходило в нескольких субстратах11 . Следовательно, DZ есть движение АG, что и требовалось доказать.

21. Все изменившееся, как только изменение произошло, находится в том, во что изменилось.

Пусть A изменилось из В в G. Я утверждаю, что A находится в G. В самом деле, оно находится либо в B, либо в G, либо в чем-нибудь другом. Что оно не в B, очевидно, поскольку оно оставило В. Но и ни в чем-нибудь другом. В самом деле, путь оно находится в D. Тогда по необходимости оно продолжает изменяться в G ( ведь изменение было не из В в D ), однако это невозможно, так как оно не может изменяться в то, во что уже изменилось. Следовательно, то, что изменилось в G, находится в G.

22. То первое, в чем произошло изменение, неделимо.

Пусть ВG - то первое, в чем A завершило свое изменение12 . Я утверждаю, что ВG неделимо. В самом деле, допустим, оно поделено в D. Тогда, либо и в ВD, и в DG изменение произошло, либо в обоих продолжало происходить, либо в одном продолжало происходить, а в другом произошло. Но если изменение произошло в обоих, то и в первом, следовательно, ВG не есть то первое, в чем произошло изменение, и в ВD оно произошло раньше. Если же изменение происходило в обоих, то оно продолжало происходить и в целом ВG, но, по предположению, в нем оно уже произошло. Если же оно продолжало происходить только в одном, а в другом уже произошло, то тем первым, в чем произойдет изменение, будет не ВD, а его часть. Следовательно, ВG неделимо, что и требовалось доказать.

23. Ни одно изменение не имеет начала изменения.

Пусть началом изменения АВ будет изменение АG. Тогда, если АG неделимо, то неделимое будет смежно с неделимым13 , а если делимо, тогда разделим его на АD и DG. Тогда, если в каждой из этих частей изменение продолжало происходить, то оно продолжало происходить и в целом, но по предположению, в целом оно уже завершилось. Если же в одной из частей изменение продолжало происходить, а в другой уже завершилось, то целое больше не есть то первое, в чем завершилось изменение. Если же изменение завершилось в обеих частях, то в АD оно завершилось раньше чем в АG. Следовательно, указать начало изменения невозможно14 .

24. Если имеется изменение по некоторой величине, то для нее нельзя указать то первое, в чем произошло изменение15 .

Допустим, имеется изменение по величине АВ. Я утверждаю, что для АВ нельзя указать то первое, в чем произошло изменение. Возьмем любое АG, при условии что в нем первом произошло изменение. Тогда, если оно неделимо, то неделимое будет смежно с неделимым, а если делимо, то будет то, в чем изменение произошло раньше, чем в AG, а раньше него - другое, и так до бесконечности. Следовательно, в величине нельзя указать то, в чем первом произошло изменение.

25. Если взять первое время какого-нибудь изменения, то в любой части времени будет и часть изменения.

Возьмем ХР в качестве первого времени изменения АВ16 . Поскольку всякое время делимо до бесконечности, разделим его в К. Тогда, либо изменение есть в обоих интервалах ХK и КР, либо ни в одном из них, либо в одном из двух. Но если ни в одном, то его не будет и в целом времени, если же только в одном из двух, то ХР не будет первым временем изменения. Следовательно, изменение есть в обоих интервалах ХK и КР, что и требовалось доказать.

26. Все движущееся прежде уже завершило движение.

Пусть в течение первого времени ХР тело проходит величину АВ, и пусть первое время будет разделено в К. Тогда за время ХК тело проходит какую-то часть величины АВ, так что если в целом ХР оно продолжает двигаться, то в ХК оно уже завершило движение. В самом деле, концом времени ХК является момент "теперь", и если завершить движение в нем можно, то двигаться - нельзя. Точно так же докажем, разделив время ХК, что и в нем движению предшествует завершение движения. Ведь "теперь" есть во всяком времени, а значит, и завершение движения.

27. Все завершившее движение прежде двигалось.

Пусть нечто изменилось из A в B. Тогда, либо оно изменилось во времени, либо в моменте "теперь". Но если в моменте "теперь", то в один и тот же момент "теперь" оно будет сразу и в A, и в B. Ведь если оно находится в A в один момент "теперь", а в B - в другой, то между ними будет время, поскольку неделимое не смежно с неделимым. Следовательно, оно изменилось из A в B во времени, но всякое время делимо, следовательно, в первой половине времени тело продолжает изменение в B, а значит, и в половине половины, и так до бесконечности. Следовательно, все завершившее движение прежде двигалось, что и требовалось доказать.

28. Если движущееся бесконечно, оно не пройдет конечной величины за конечное время.

Пусть A - бесконечное движущееся, В - конечная величина, которую оно проходит, G - конечное время. Тогда, если A движется вдоль В, ясно, что и В - вдоль А. Тогда, поскольку A бесконечно, а В - конечно, конечное будет двигаться через бесконечное в течение конечного времени, что невозможно. В самом деле, когда A движется через В, то и В через А, но A движется через В конечное время, следовательно, и В через A - конечное, что невозможно, как было доказано в двенадцатой теореме.

29. Если движущееся бесконечно, оно не пройдет бесконечной величины за конечное время.

Пусть A - бесконечное движущееся, В - бесконечная величина, G - конечное время. Тогда, если бесконечное A движется через бесконечное В, оно будет двигаться также и через его части. Возьмем часть В и назовем ее D. Тогда A будет двигаться через D. Поскольку время G конечно, то и время движения по D конечно. Назовем его Q. Выходит, бесконечное A проходит через конечную величину D за конечное время Q, что невозможно согласно предыдущей теореме. Следовательно, бесконечное не может двигаться через бесконечную величину в течение конечного времени, что и требовалось доказать.

Отсюда ясно, что не существует бесконечного движения, если только одно и то же движение не происходит многократно. В самом деле, если будет существовать бесконечное движение, то либо бесконечное будет двигаться через конечное, либо конечное через бесконечное, либо бесконечное через бесконечное, однако все это невозможно. Следовательно, бесконечного движения не существует17 .

30. Все движущееся в пространстве в момент "теперь" находится целиком в первом месте18 .

В самом деле, если не в момент "теперь", а во времени, то пусть в течение времени АВ тело находится в своем первом месте, и пусть время АВ будет поделено на АG и GB. Тогда AG раньше GB, но движущееся находится в первом месте в течение всего промежутка АВ, а находящееся в одном и том же месте раньше и позже - покоится. Следовательно, движущееся покоится, что невозможно. Итак, в первом месте движущееся находится только в момент "теперь".

31. Все количественно неделимое неподвижно само по себе.

Допустим, количественно неделимое A движется из В в G. Тогда, поскольку все движущееся движется во времени, в течение того времени, когда A движется, оно либо целиком находится в B, либо целиком в G, либо часть его в B, а часть в G. Но если целиком в B, то оно еще не движется и покоится, если целиком в G, то оно уже завершило движение и поэтому не движется, если же часть его в B, а часть в G, то у него есть части. Следовательно, неделимое не движется, что и требовалось доказать.

Иначе: Пусть А неделимо и движется по В. Тогда, поскольку все движущееся, прежде чем пройдет расстояние большее самого себя, проходит равное себе или меньшее расстояние, то и А будет двигаться таким же точно образом. Однако, если оно пройдет расстояние, меньшее самого себя, оно будет иметь части, а если - равное, то В будет состоять из неделимых, что, как было доказано, невозможно. Следовательно, неделимое не движется.

Другое доказательство того, что неделимое не проходит равного себе расстояния: Допустим, что оно его проходит, и пусть временем его движения будет АВ. Поскольку любое время делимо, разделим АВ на АG и GB. Тогда, за время АG движущееся неделимое пройдет меньшее расстояние, однако за время АВ оно проходило расстояние равное себе, а равное неделимому неделимо. Выходит, будет существовать нечто меньшее неделимого, что невозможно. Следовательно, неделимое не проходит равного себе расстояния.



следующая страница >>