microbik.ru
1 2 3 4




  1. Распространение, преломление и отражение света

в изотропных средах.

Рассмотрим распространение световых волн в однородных изотропных диэлектриках, где диэлектрическая проницаемость не зависит от координат. Будем также считать, что она не зависит и от времени. В этом случае в уравнениях Максвелла (2.5), (2.6) необходимо сделать замену (диэлектрическую проницаемость иногда называют относительной диэлектрической проницаемостью). Тогда для фазовой скорости:
(4.1)
где коэффициент (показатель) преломления диэлектрика.

Длина волны при этом равна:
(4.2)
Волновое число равно:

(4.3)
Связь объемной плотности энергии w и плотности потока энергии:
(4.4)
Классическая электронная теория дисперсии. В диэлектриках скорость световых ЭМВ зависит от частоты. Это явление называется дисперсией. Влияние дисперсии проявляется лишь в распространении немонохроматических волн, т.к. ее монохроматические составляющие с различными частотами распространяются с различными скоростями. Дисперсия является следствием зависимости поляризованности атомов от частоты. Для нахождения явного вида (), входящей в материальные уравнения, воспользуемся микроскопической классической теорией взаимодействия электромагнитного поля волны с веществом. Микроскопическая теория исходит из некоторой идеализированной модели строения вещества. Наибольшей простотой отличается модель газообразной среды, т.к. для нее в первом приближении можно не учитывать взаимодействие атомов или молекул и считать, что действующее на отдельный атом поле совпадает со средним полем ЭМВ. В таких условиях для получения макроскопического материального уравнения достаточно рассмотреть действие поля ЭМВ на изолированный атом. Вообще говоря, применять классическую теорию к таким процессам нужно крайне осторожно. Но в данном случае квантовая теория дисперсии приводит к таким же результатам, что и классическая.

В классической теории дисперсии электрон, с которым взаимодействует электромагнитное поле (внешний, или оптический электрон), в атоме рассматривается как затухающий дипольный осциллятор, характеризуемый определенной собственной частотой о и постоянной затухания , так что уравнение его движения в поле E(t) = Eoeit световой волны имеет вид:
(4.5)
где r – смещение электрона из положения равновесия. Будем искать решение этого уравнения в виде:
. (4.6)
В результате получим:
. (4.7)
Дипольный момент атома p(t), индуцированный полем E(t):
. (4.8)
Если N – концентрация электронов с собственной частотой колебаний 0, то поляризованность P среды определяется следующим образом:
. (4.9)
С другой стороны поляризованность среды (поляризация среды) равна
, (4.10)
где – линейная диэлектрическая восприимчивость среды, которая вообще говоря, зависит от частоты . Учтем также, что векторы D, E и P связаны соотношением:
. (4.11)
Тогда из (4.10) и (4.11) следует, что для относительной проницаемости:
, (4.12)
а из (4.8), (4.9), (4.10) имеем:
(4.13)
или . (4.14)
Т.к. , то это значит, что показатель преломления, а следовательно, и скорость ЭМВ зависят от частоты. Видно также, что n – комплексная величина:

. (4.15)
Тогда с учетом (4.14) имеем уравнения:
(4.16)

Для прозрачных или частично прозрачных в оптическом диапазоне диэлектриков очень мало. Тогда
. (4.17)
Из этого приближения получаем:

. (4.18)
Если в среде дисперсию определяют различные ансамбли электронов с собственными частотами 0i и концентрацией Ni , то формулу (4.18) можно обобщить:
. (4.19)
В этой формуле не учтены колебания ионов. Т.к. их масса много больше массы электронов, то собственные частоты ионов лежат в дальней инфракрасной области.

Нормальная дисперсия. Вдали от собственных резонансов величина близка к 1 (для прозрачных диэлектриков, разреженных газов):

. (4.20)
Тогда

. (4.21)



Рис. 4.1
Графическая зависимость (дисперсионная кривая) имеет вид рис.4.1.

Если действительная часть показателя преломления увеличивается с ростом частоты, то дисперсия называется нормальной. Нормальная дисперсия наблюдается во всей области прозрачности диэлектриков.

Для малых частот ( << 0i) формула (4.21) дает статическое значение показателя преломления:
. (4.22)
Это значение может существенно отличаться от значения показателя преломления для оптических частот. (Например, для воды в области оптических частот n = 1,33 , а статическое значение . (Иллюстрация вкладов ионов в дисперсию.)) Для больших частот ( 0i ) , при этом

. (4.23)

Т.о. для коротковолнового излучения диэлектрик является оптически менее плотной средой, чем вакуум. Например, для рентгеновского излучения может наблюдаться полное отражение. Кроме того, при очень больших частотах характер связи электронов роли не играет, а показатель преломления n зависит лишь от общей концентрации всех электронов.

Аномальная дисперсия. Пренебрежение затуханием ( = 0) привело к тому, что при 0i . Но вблизи собственных частот нельзя пренебречь . Тогда является непрерывной функцией. Разделение мнимых и вещественных частей согласно (4.15) дает (с учетом приближения ):
(4.24)
Дисперсионные кривые (4.24) представлены на рис.4.2.




Рис. 4.2
Вблизи резонансной частоты 0 показатель преломления с ростом частоты уменьшается. Это явление называется аномальной дисперсией.

Отражение и преломление света на границе двух диэлектриков.

Граничные условия для векторов поля световой волны на границе между двумя диэлектриками при отсутствии свободных зарядов и токов проводимости имеют вид:
(4.25) – (4.26)
где , n – индексы тангенциальной (касательной к границе раздела) и нормальной компоненты вектора соответственно.

Пусть на плоскую границу двух диэлектриков с абсолютными (не относительными !) проницаемостями (1 ; 1) и (2 ; 2) (магнитную проницаемость пока оставим в общем виде) падает под некоторым углом плоская световая волна (рис.4.3). Тогда для напряженностей электрического поля в падающей, отраженной и преломленной волнах соответственно имеем:

(4.27)




Рис. 4.3
где – волновые числа, причем – скорости света в 1-й и 2-й средах.

Законы отражения и преломления света на границе полностью определяются граничными условиями (4.25) и (4.26).

Для электрического поля с учетом (4.27) граничные условия принимают вид:
(4.28)
Отметим, что начало отсчета вектора r (точка 0) совершенно произвольно. Если 0 лежит не на поверхности раздела, то
. (4.29)
При этом в (4.28): . Но для любой точки поверхности , поэтому удобно точку 0 поместить на границе раздела.

Равенство (4.28) будет соблюдаться для произвольных значений r и t только при
(4.30)

. (4.31)
Отсюда следует, что

. (4.32)
(Частота ЭМВ при отражении и преломлении не меняется.)

Выберем точку 0 так, чтобы вектор (т.е. направим перпендикулярно плоскости XZ рис.4.3). Тогда , а из (4.31) следует, что и . Отсюда следует, что волновые векторы падающей, отраженной и преломленной волн (условно пока назовем направление k лучом) лежат в одной плоскости.

Плоскость, в которой лежат волновой вектор k0 и нормаль к поверхности раздела n в точке падения луча, называется плоскостью падения. Из рис.4.3 видно, что
(4.33)

Тогда с учетом (4.31) получаем:
(4.34)
или из (4.27) и (4.32): . (4.35)
Вспомним, что – показатели преломления. Из (4.35) можно сделать следующие выводы:

  1. . (4.36)




  1. . (Закон Снеллиуса) (Snellius Willebord 1591–1626) (4.37)


Введем обозначение
относительный показатель преломления. (4.38)

Тогда закон Снеллиуса примет вид:
. (4.39)
При (падение из менее оптически плотной в более оптически плотную среду) (рис.4.4). При (рис.4.5).




Рис. 4.4



Рис. 4.5
Вообще говоря, вектор E0 в падающей волне может иметь произвольный азимут (угол между E и плоскостью падения. Разложим векторы электромагнитного поля на две составляющие: перпендикулярные плоскости падения (будем обозначать их индексом s (или ) и параллельные плоскости падения (будем обозначать их индексом p (или )) (рис.4.6):

(4.40)

Видно, что векторы и составляют правовинтовые тройки векторов и образуют сами плоские ЭМВ. Кроме этого видно, что , т.е. плотность потока энергии исходной волны равна сумме плотностей потока энергии волн, на которые она разлагается.

Т.о. плоскую волну с произвольным азимутом можно разложить на сумму волн, у одной из которых Ep (pполяризация) лежит в плоскости падения, а у другой Es (sполяризация) – перпендикулярна ей. Изучив поведение этих волн на границе с учетом принципа суперпозиции и аддитивности (в данном случае) плотностей потока энергии, получим поведение ЭМВ с произвольным азимутом.

Отражение и преломление s-поляризованной ЭМВ. (Рис.4.7)

Введем единичные векторы в направлении волновых векторов:
(4.41)
Как направлены векторы E1 и E2 заранее не известно. Направим условно их так, как показано на рис.4.7. Если знак получится отрицательный, значит векторы направлены в противоположную сторону.
Граничные условия для s–поляризации (индексы s опустим):


Рис. 4.7
(4.42) – (4.43)

Обозначим волновое сопротивление (импеданс) среды. (Для вакуума .) В оптике, в отличие от электричества, понятие волнового сопротивления среды практически не используется. Но для удобства записи мы им временно воспользуемся. Тогда
(4.44)



Рис. 4.6
Из рис.4.7 можно найти связь :
(4.45)
Для дальнейшего использования в (4.43) получим из (4.44) и (4.45) скалярное произведение для любой из рассматриваемых волн:
. (4.46)
С учетом известной из векторного анализа формулы
(4.47)
получаем:

. (4.48)
Тогда из (4.43) имеем:
. (4.49)
Соотношения (4.49) и (4.42) совместно можно записать в виде:

(4.50)
Обозначим:

амплитудный коэффициент отражения; (4.51)
амплитудный коэффициент пропускания. (4.52)

Учтем, что
(4.53)
При система (4.50) имеет действительное решение для всех углов 0 . Если она имеет действительное решение лишь для углов (подробнее этот случай рассмотрим позднее). Тогда имеем:

(4.54) – (4.55)
(Обобщенные формулы Френеля для s – поляризации)

Для диэлектриков в оптическом диапазоне обычно . Тогда из (4.54) и (4.55) получим общепринятые формулы Френеля для s – поляризации:
(4.56) – (4.57)
Графики зависимостей и для приведены на рис.4.8.

При отражении света от диэлектрика с фаза отраженной волны изменяется на . При преломлении в этом случае изменения фазы нет.




Рис. 4.8
При отражении света от диэлектрика с скачка фазы на не происходит ни для отраженной, ни для преломленной волны (для углов рассмотрение – ниже).

Отражение и преломление pполяризованной ЭМВ. (Рис.4.9)




Рис. 4.9



Рассмотрение в данном случае проводится аналогично случаю s–поляризации.

Для этого учтем, что
(4.58) – (4.59)
Отсюда
. (4.60)
Граничные условия для p–поляризации принимают вид:
(4.61) – (4.62)
Подставляя (4.60) в (4.61), получаем:
; (4.63)
. (4.64)
Для действительных углов преломления получаем обобщенные формулы Френеля для p–поляризации:
(4.65) – (4.66)
или для диэлектриков с 1 = 2 :
(4.67) – (4.68)
Графики зависимостей и для приведены на рис.4.10.



Рис. 4.10



Явление Брюстера Из формулы (4.67) и из графика рис.4.10 видно, что для p–поляризованной волны при некотором угле падения , называемом углом Брюстера, отраженная волна отсутствует, т.е. . Это явление называется явлением Брюстера (Brewster David, 1781 – 1868) (1815 г.). Для угла Брюстера справедливы следующие соотношения:

(4.69)
При переходе через угол Брюстера фаза колебаний отраженной волны скачком меняется на .

Заметим, что явлении Брюстера наблюдается тогда, когда направления преломленной и отраженной волны ортогональны. С физической точки зрения это можно объяснить следующим образом. Если связывать наличие отраженной волны с вынужденными колебаниями электронов во второй среде, то в направлении, перпендикулярном преломленной волне, не должна распространяться энергия, т.к. образующийся при этом диполь не излучает в направлении собственных колебаний.

При при падающей волне с произвольным азимутом отражается лишь s – поляризованная компонента. Это является одним из способов получения линейно-поляризованного света.

Пример. Стопа Столетова. При нормальном падении света () понятия s– и p– поляризаций теряют смысл и формулы (4.54), (4.55), (4.65) и (4.66) дают один и тот же результат (для диэлектрика ):

(4.70) – (4.71)

(Знак в (4.70) не учтен).

Энергетические соотношения при преломлении и отражении. Энергетическим коэффициентом отражения называется абсолютное значение отношения нормальных компонент векторов Пойнтинга в отраженной и падающих волнах:
. (4.72)
Энергетический коэффициент пропускания вводится аналогичным образом для преломленной волны:
. (4.73)
Т.к. , (4.74)

(4.75)
то для имеем:

(4.76)
, (4.77)
или с учетом (4.54), (4.55), (4.65), (4.66):
; (4.78)
; (4.79)
; (4.80)
. (4.81)
При 0 = 0 для 1 = 2
; (4.82)

. (4.83)
Прямой проверкой можно показать, что

. (4.84)
Это выражает закон сохранения энергии при отражении и преломлении света на границе раздела двух сред. Графики для изображены на рис.4.11.



Рис. 4.11
Явление полного внутреннего отражения. При падении света на границу двух диэлектриков, для которых (рис.4.12), из закона Снеллиуса следует, что существует предельный (или критический) угол п падения, при котором угол преломления . Тогда
. (4.85)

При угол преломления 2 имеет обычную геометрическую интерпретацию, и коэффициенты R и T являются вещественными.

Когда угол падения , не существует вещественного угла преломления 2 , т.к. закон Снеллиуса дает для sin2 значение больше единицы, а для cos2 – чисто мнимое значение:

(4.86)

Но формулы Френеля останутся справедливыми и в этом случае, если закон преломления рассматривать просто как определение входящих в них величин sin2 и cos2 в соответствии с (4.86). Справедливость понимаемых таким образом формул Френеля следует из того, что они обеспечивают выполнение граничных условий и в этом случае.

Рассмотрим сначала световую волну во второй среде (преломленную) в общем случае:

(4.87)

В такой записи сомножитель I означает комплексную амплитуду волны II, распространяющейся вдоль оси X со скоростью . Подставим (4.86) в (4.87):

(4.88)

Знак (+) в первой экспоненте соответствует безграничному возрастанию поля в среде, что лишено фйизического смысла. Поэтому остается (–), что соответствует быстро убывающей с ростом z амплитуде волны, распространяющейся во второй среде вдоль X. Практически эта неоднородная волна существует лишь в поверхностном слое второй среды толщиной порядка длины волны. Причем фазовая скорость этой неоднородной (и соответственно не плоской) зависит как от свойств среды, так и от угла падения.

Формулы Френеля для отраженной волны ((4.56) и (4.67) с учетом (4.86)) имеют вид:
; (4.89)
. (4.90)

Видно, что энергетические коэффициенты при углах падения больше критического (рис.4.13). Поэтому это явление называется полным внутренним отражением (ПВО). При этом волна и соответствующая доля энергии проникают через границу раздела во вторую среду на некоторую глубину d (глубину проникновения) (амплитуда поля на глубине d падает в е раз):




Рис. 4.12
, (4.91)

движутся вдоль поверхности раздела и затем возвращаются в первую среду

. Места входа энергии во вторую среду и ее возвращения в первую смещены друг относительно друга. Амплитуды p– и s–компонент отраженной волны не изменяются по абсолютному значению, но испытывают различные фазовые сдвиги. Если представить, что
, (4.92)
то

(4.93)


Обозначим (4.94)


Тогда




Рис. 4.13
. (4.95)


Примеры: 1. Призма–крыша.

  1. Световоды.

  2. Миражи.

  3. Ромб (параллелепипед) Френеля ().



следующая страница >>