microbik.ru
1

Расчетно-графическая работа № ???


Тема 1: «Динамика точки. Кинетическая и потенциальная энергия. Уравнения Лагранжа. Интеграл энергии. Область возможного движения..»

Рассматривается движение точки M(x,y) в плоскости Oxy; где Oxy – неподвижная декартова система координат. Пусть изменение координат точек задается соотношениями

x = x(t), y = y(t), (1.1)

Эти зависимости задают траекторию точки на плоскости, параметризованную временем t.

Пусть i и j – орты осей Ox и Oy. Радиус-вектор точки r(t), записанный через скалярные функции x(t), y(t), имеет вид

r(t) = x(t) i + y(t) j

Исключение времени из уравнений (1.1) доставляет уравнение траектории в виде

f(x,y) = 0. (1.2)

Скорость точки M задается векторным соотношением

v(t) = dr/dt = vx(t) i + vy(t) j

причем проекции вектора скорости являются производными по времени от координат движущейся точки vx = x¢ (t), vy = y¢ (t).

Кинетической энергией точки называется соотношение

T = m v2/2 = m (vx2+ vy2)/2

Потенциальной энергией системы называется функция

U = U(x,y), (1.3)

такая, что сила, действующая на систему, задается соотношением

F = Fx i + Fy Fx = - ∂U/∂x, Fy = - ∂U/∂y

Пусть система стеснена голономной связью

f(x,y)=0, (1.4)

допускающей параметризацию

x=x(φ), y=y(φ).

Имеем систему с одной степенью свободы. Ее кинетическая энергия может быть представлена в виде

T(φ¢, φ) = m v2/2 = m (φ¢)2(xφ2+ yφ2)/2, φ¢ = dφ/dt

Потенциальная энергия имеет вид

U (φ) = U(x(φ),y(φ))

Движение системы описывается уравнением Лагранжа

(∂L/∂φ¢)¢= ∂L/∂φ, L = T – U

Если функция Лагранжа не зависит явно от времени, то это уравнение допускает интеграл энергии

H = T + U = h

Величина h задает уровень интеграла энергии. Область U(φ) ≤ h называется областью возможного движения.

Задача


Для точки M механизма (Табл. 1.3), движение которого описывается в соответствии с параметрами заданного варианта (Табл. 1.2), найти параметрическое представление траектории, выписать выражение для кинетической энергии, выписать выражение для потенциальной энергии в предположении, что система совершает движение в однородном вертикальном поле силы тяжести. Нарисовать график потенциальной энергии на плоскости (φ,U) или (s,U). Найти максимальное и минимальное значение потенциальной энергии Umax и Umin. Выписать функцию Лагранжа, уравнение Лагранжа, интеграл энергии. Изобразить уровни интеграла энергии h = Umin , h = Umin + Δ/4, h = Umin + Δ/2, h = Umin + 3Δ/4, h = Umax , , h = Umin + 3Δ/4, Δ= Umax - Umin, а также области возможного движения в предположении о том, что масса точки равна единице.

Последовательность выполнения задачи


1.В соответствии со схемой, указанной в варианте, ввести параметрическое представление траектории точки M (Табл. 1.3)

x = x (φ), y = y (φ) или x = x (s), y = y (s)

2.Выписать выражение для скорости точки M.

3.Выписать выражения для кинетической и потенциальной энергии. Найти минимум и максимум потенциальной энергии.

4.Выписать функцию Лагранжа и уравнение Лагранжа.

5.Выписать интеграл энергии.

6.Построить на плоскости (φ, φ¢) или (s, s¢) линии уровня интеграла энергии, изобразить на рисунках области возможного движения

Пример выполнения задания


Колесо катится по прямой, совпадающей с осью Ox, своим внутренним ободом радиуса r. Точка M находится на внешнем ободе колеса радиуса R = 60 см, r = 0,5 R (Рис. 1.1).

Рис. 1.1

Решение


1. Выразим координаты точки M в виде функций угла j, и, следовательно, - в виде функций параметра времени t. В начальный момент времени j = 0. Следовательно, точка A совпадает в этот момент с началом координат O. В процессе движения длина дуги AP равна пройденному пути OP. Следовательно

OP = rj, x = OP – R sin φ, y=r – R sin φ


2. Записываем компоненты скорости в виде

vx= (r – R cos φ) φ¢, vy= R sin φ φ¢

3. Выпишем уравнение для кинетической энергии

T = m (vx2+ vy2)/2 = m(φ¢)2((r – R cos φ)2 + (R sin φ)2)/2

Выпишем выражение для потенциальной энергии

U = m g (r – R cos φ)

Изобразим ее график на плоскости (φ,U). Выпишем выражение для минимума и максимального значений потенциальной энергии

Umin= m g (r - R), Umax= m g (r + R), Δ = 2mg R

4. Выпишем выражение для функции Лагранжа

L= T-U = m(φ¢)2((r – R cos φ)2 + (R sin φ)2)/2- m g (r – R cos φ)

Выпишем уравнение Лагранжа

(mφ¢((r – R cos φ)2 + (R sin φ)2))¢ = m(φ¢)2(R sin φ (r – R cos φ) + R cos φ(R sin φ)) - mg R sin φ

5. Выпишем выражение для интеграла энергии

H= T-U = m(φ¢)2((r – R cos φ)2 + (R sin φ)2)/2 + m g (r – R cos φ) = h

5. Строим линии уровня интеграла, представляя это соотношение в виде

φ¢ = ± [(m(r – R cos φ)2 + (R sin φ)2)-1 (-2 m g (r – R cos φ) + h))]1/2

6. На горизонтальной оси эти линии уровня высекают области возможных движений.

Табл. 1.2


Размеры звеньев (см)

t1 (с)

Dt (с)

l

R

r

1

15

0,25

0,025

2

50

0,8

0,08

3

30

30

0,5

0,05

4

30

0,5

0,05

5

40

15

0,5

0,05

6

60

0,25

0,025

7

20

1

0,1

8

10

0,25

0,025

9

60

60

2

0,2

10

40

0,5

0,05

11

60

24

0,25

0,025

12

45

0,5

0,05

13

50

0,4

0,04

14

20

0,25

0,025

15

60

60

0,25

0,025

16

40

0,5

0,05

17

42

30

0,5

0,05

18

40

0,25

0,025

19

50

0,5

0,05

20

60

22

0,5

0,05

21

40

15

0,25

0,025

22

45

0,5

0,05

23

42

0,25

0,025

24

45

0,5

0,05

25

60

21

1

0,1

26

30

0,5

0,05

27

60

12

1

0,1

28

40

24

0,5

0,05

29

50

0,25

0,025

30

60

24

1

0,1

Табл. 1.3