microbik.ru
1 2 3 4

Расчетно-графическая работа № 1


Тема 1: «Кинематика точки. Координатный способ задания движения точки. Естественный способ задания движения. Скорость и ускорение точки в проекциях на декартовы и естественные оси координат. Построение траектории точки, графиков скорости и ускорения на заданном интервале времени. Определение радиуса кривизны траектории в каждой точке разбиения интервала. Годограф скорости.»

Рассматривается движение точки M(x,y) в плоскости Oxy; Oxy – неподвижная декартова система координат. Для задания движения точки координатным способом необходимо дать зависимости изменения координат точки от времени

x = x(t), y = y(t), (1.1)

Эти зависимости называются уравнениями движения точки на плоскости. Одновременно они являются параметрическими уравнениями траектории, где параметр – время t.

Пусть i и j – орты осей Ox и Oy. Радиус-вектор точки r(t) может быть записан через скалярные функции x(t), y(t) в виде

r(t) = x(t) i + y(t) j

Скорость точки M

v(t) = dr/dt = vx(t) i + vy(t) j

Таким образом, проекции вектора скорости являются производными от координат движущейся точки по времени vx = x¢ (t), vy = y¢ (t).

Величина скорости и ее направление задаются равенствами:

v = ½v½ = , cos (v,i) = x¢ /v, cos (v,j) = y¢ /v

Ускорение точки M

a(t) = dv/dt = ax(t) i + ay(t) j,

где ax = x² (t), ay = y² (t) – проекции ускорения на оси Ox и Oy. Для модуля и направления вектора ускорения имеем равенства

a = ½a½ = , cos (a,i) = x² /a, cos (a,j) = y² /a.

Чтобы получить уравнение траектории в форме зависимости между координатами x и y, надо исключить время t из параметрических уравнений траектории (1.1)

f(x,y) = 0. (1.2)

При этом траекторией точки может быть не вся кривая, представленная уравнением (1.2), а только ее часть, соответствующая положительному значению параметра t.

Если траектория точки известна, то задать движение точки можно естественным способом. Для этого задается точка начала отсчета M0 на траектории, выбирается положительное направление движения и указывается закон движения в виде

s = s(t).



Параметр s является криволинейной координатой. Знак s указывает: по какую сторону от начальной точки M0 находится на траектории текущая точка M. В каждой точке M плоской траектории можно построить оси естественной системы координат: касательную прямую t и главную нормаль n с ортами t0 и n0. За положительное направление касательной выбирается направление в сторону роста параметра s по траектории. Главная нормаль направлена в сторону вогнутости траектории под прямым углом к направлению касательной в данной точке. При движении точки M система естественных осей Mtn также движется, и направления осей меняются с течением времени.

Алгебраическая скорость точки

vt = ds/dt = s¢ .

При s¢ > 0 точка движется в положительном направлении отсчета s, а при s¢ < 0 – в противоположную сторону. Модуль скорости вычисляется по формуле

v = ½v½ = ½s¢½.

Вектор ускорения допускает представление

a = s¢²t0 + v2/r n0,

где r – радиус кривизны траектории в данной точке.

  • at = s² t0 – касательная составляющая ускорения точки;

  • an = v2/r n0 – нормальная составляющая ускорения.

Таким образом

a = at + an.

Величина полного ускорения

a = ½a½ = ,

где at = vt¢ = s², an = v2/r – проекции вектора ускорения на касательную и нормаль. Приведем также формулу для проекции вектора a ускорения на направление вектора скорости v

av = (a, v)/v = (axvx + ayvy)/v = (x² x¢ + y² y¢)/v.

Заметим, что ½av½ = ½at½.

Модуль проекции ускорения на касательную характеризует изменение скорости по величине, а знак показывает направление касательной составляющей ускорения:

  • если atvt > 0, то движение точки является ускоренным, при этом векторы at и v направлены в одну сторону;

  • если atvt < 0, то движение точки является замедленным, векторы at и v направлены в противоположные стороны.

Проекция ускорения на нормаль всюду положительна и характеризует изменение скорости только по направлению. Направление может менять сам вектор нормали – когда траектория проходит точку перегиба.

Рассмотрим различные частные случаи движения точки.

  • Если at º 0, то движение точки вдоль траектории является равномерным (v º const); если при этом движение является криволинейным, то a = an.

  • Если an º 0, то движение точки является прямолинейным и a = at,

  • Условие a º 0 означает, что движение является равномерным и прямолинейным.

Существует удобный и наглядный способ описания изменения вектора скорости как по величине, так и по направлению – это годограф вектора скорости.

Пусть M1, M2, ¼, Mn – несколько последовательных положений движущейся точки M на траектории в моменты времени t1, t2, ¼, tn соответственно. Пусть также v1, v2, ¼, vn – векторы скорости точки в те же моменты времени. Перенесем векторы скоростей, не меняя их длин и направлений, в начало координат O1. Концы векторов будут расположены на некоторой непрерывной линии, которая и называется годографом скорости.

Радиус-вектор = v любой точки на годографе имеет координаты

. (1.3)



Уравнения (1.3) являются параметрическими уравнениями движения точки N по годографу скорости. Если исключить из этих уравнений время t, то получим уравнение годографа скорости в декартовых координатах O1x1y1.

Очевидно, что при равномерном криволинейном движении в плоскости годографом скорости будет окружность с радиусом, равным величине скорости. При прямолинейном переменном движении годографом скорости является отрезок прямой, параллельный траектории точки. В случае равномерного прямолинейного движения годограф скорости вырождается в точку.


следующая страница >>