microbik.ru
1
2 класс.

  1. Из спичек составлено неверное равенство

группа 41

Переложите одну спичку так, чтобы получилось верное равенство.

Цифры, составленные из спичек, выглядят так:

Решение: 7-1=6

  1. Незнайке дали очень странную доску (см.рис). Сможет ли он поставить на эту доску трех ферзей так, чтобы они не били друг друга? Сможет ли он поставить трех ферзей так, чтобы они не били друг друга, но при этом били все клетки доски? (Ферзь бьет на любое количество клеток по вертикали, горизонтали и диагонали от себя, а также клетку, на которой он стоит).

Решение: В обоих случаях Незнайка сможет расставить ферзей так (они не бьют друг друга, но при этом бьют все клетки доски):



Критерий: Ответ «сможет» только на первый вопрос с приведенным примером расстановки ферзей – 2 балла. Ответ «сможет» на второй вопрос с примером – 7 баллов.

  1. По кругу стоят 30 человек, каждый из них либо рыцарь (который всегда говорит только правду), либо лжец (который всегда лжет). Каждый из них произнёс фразу: «Человек справа от меня - лжец». Сколько лжецов среди этих 30 человек?

Решение: Справа от рыцаря обязательно стоит лжец, иначе рыцарь солжет. Два лжеца подряд стоять не могут, иначе левый из них скажет правду. Значит, справа от лжеца стоит рыцарь. Таким образом, рыцари и лжецы чередуются, следовательно, лжецов 15.

Критерии: правильный ответ без объяснения – 1 балл

  1. Разрежьте по сторонам клеток прямоугольник 4 на 6 клеток на шесть равных фигурок. Чем больше различных разрезаний Вы получите, тем больше баллов у Вас будет. Фигуры называются равными, если они совпадают при наложении.

Решение: Для получения полного балла нужно было привести 7 разрезаний, например, таких:



Критерии: За каждое приведенное разрезание – 1 балл.

  1. Из цифр 1,2,3,4 и знаков арифметических действий +, – , *, : составьте как можно больше чисел от 1 до 7. Скобками пользоваться нельзя. Необходимо использовать все четыре цифры, но их можно использовать в любом порядке.

Решение:

1*2+3-4=1; 1+2+3-4=2; 4-3+1*2=3; 1+2-3+4=4; 4+3-1*2=5; 3+4+1-2=6; 13-2-4-7.

Критерии: за представление каждого числа от 1 до 7 – по одному баллу

3 класс.

  1. Игруппа 22з спичек составлено неверное равенство

Переложите две спички так, чтобы получилось верное равенство.

Цифры, составленные из спичек, выглядят так:



Решение: 5+2=7

  1. Незнайке дали очень странную доску (см.рис). Сможет ли он поставить на эту доску трех ферзей так, чтобы они не били друг друга? Сможет ли он поставить трех ферзей так, чтобы они не били друг друга, но при этом били все клетки доски? (Ферзь бьет на любое количество клеток по вертикали, горизонтали и диагонали от себя, а также клетку, на которой он стоит).

Решение: В обоих случаях Незнайка сможет расставить ферзей так (они не бьют друг друга, но при этом бьют все клетки доски):



Критерий: Ответ «сможет» только на первый вопрос с приведенным примером расстановки ферзей – 2 балла. Ответ «сможет» на второй вопрос с примером – 7 баллов.

  1. По кругу стоят 30 человек, каждый из них либо рыцарь (который всегда говорит только правду), либо лжец (который всегда лжет). Каждый из них произнёс фразу: «Следующие 2 человека по часовой стрелке после меня – лжецы». Сколько лжецов среди этих 30 человек?

Решение: Справа от рыцаря обязательно стоит лжец, иначе рыцарь солжет. Три лжеца подряд стоять не могут, иначе самый левый из них скажет правду. Значит, после двух лжецов стоит рыцарь. Таким образом, они повторяются тройками: рыцарь, лжец, лжец. Следовательно, лжецов 20.

Критерии: правильный ответ без объяснения – 1 балл

  1. На доске написаны цифры 5,4,3,2,1 (именно в таком порядке). Расставляя между ними знаки арифметических действий (+, – , *, : ), получите как можно больше чисел от 10 до 16.

Решение:

5+4+3-2*1=10; 5+4+3-2+1=11; 5+4*3:2+1=12; 5+4+3+2-1=13; 5*4-3-2-1=14; 5+4+3+2+1=15; 5*4-3-2+1=16

Критерии: за представление каждого числа от 10 до 16 – по одному баллу

  1. Разрежьте по сторонам клеток прямоугольник размерами 4 на 5 клеток на четыре равные фигурки. Чем больше различных разрезаний Вы получите, тем больше баллов у Вас будет. Фигуры называются равными, если они совпадают при наложении.

Решение:



Критерии: за каждое приведенное разрезание кроме последнего – по 1 баллу, за последнее разрезание – 2 балла.

4 класс.

  1. Игруппа 61з спичек составлено неверное равенство

Переложите две спички так, чтобы получилось верное равенство.

Цифры, составленные из спичек, выглядят так:

Решение: 5+1=6

  1. Маше исполнилось 20 лет 23 месяца назад, а Мише исполнится 23 года через 20 месяцев. Кто старше: Маша или Миша?

Решение: 23 месяца = 1 год 11 месяцев. Значит Маше 21 год и 11 мес. 20 мес = 1 год 8 месяцев, значит Мише 21 год 4 мес. Таким образом, Маша старше.

Критерии: За правильный ответ – 1 балл. Если при этом была указана неверная разница в возрасте, то 0 баллов. Правильный подсчет одного из двух возрастов – 3 балла. Верный подсчет обоих возрастов – 7 баллов.

  1. Незнайке дали очень странную доску (см.рис). Он утверждает, что на нее можно поставить 3 ферзей так, чтобы они не били друг друга. А Знайка говорит, что он вдобавок может поставить этих ферзей так, чтобы они еще и били все клетки доски. Кто из них прав? (Ферзь бьет на любое количество клеток по вертикали, горизонтали и диагонали от себя, а также клетку, на которой он стоит).

Решение: Правы оба, и Знайка и Незнайка. В обоих случаях Незнайка сможет расставить ферзей так (они не бьют друг друга, но при этом бьют все клетки доски):



Критерий: Ответ «Только Незнайка прав» с приведенным примером расстановки ферзей – 2 балла. Ответ «правы оба» с примером – 7 баллов.

  1. Найдите хотя бы одно решение ребуса (одинаковые буквы – одинаковые цифры, разные буквы – разные цифры).

Решение: Например, 237+849 =1086.

  1. Мюнхгаузен утверждает, что может пронумеровать грани куба числами 1, 2, 3, 4, 5 и 6 так, чтобы номер каждой грани являлся делителем произведения номеров соседних четырех граней. Прав ли он?

Решение: Предположим, что Мюнхгаузен прав. Посмотрим на грань, на которой написано число 5. Произведение чисел, стоящих на соседних с ней гранью не может делиться на 5, потому что в оставшихся числах нет множителя 5. Противоречие. Значит Мюнхгаузен не прав.

5 класс.

  1. Вася записывал на доске числа. Каждое записанное им число (кроме первого) было на два больше предыдущего. Петя записывал числа на другой доске. Каждое записанное число Пети (кроме первого) было на два меньше предыдущего. Вася записал 10 чисел, а Петя – 15. Последние, записанные Васей и Петей, числа отличаются на 1. Какая разность может быть между первыми числами Васи и Пети?

Решение: Вася написал 10 чисел, увеличивая их на два. Значит последнее число Вас на 18 больше, чем первое. Петя написал 15 чисел, каждый раз уменьшая их на 2. Значит последнее число Пети на 28 меньше, чем первое. Для последних чисел Васи и Пети возможны два варианта: васино число на 1 меньше, чем петино, или васино число на один больше чем петино.

В первом случае последнее петино число больше, чем первое васино на 19=18+1. Тогда первое петино число больше, чем первое васино на 47=19+28.

Во втором случае последнее петино число больше, чем первое васино на 17=18-1. Тогда первое число Пети больше, чем первое число Васи на 45=17+28.

Критерии: Один правильный ответ – 1 балл. Два правильных ответа – 3 балла.

  1. Найдите какие-нибудь четыре решения ребуса (одинаковые буквы – одинаковые цифры, разные буквы – разные цифры).

Решение: Например, 237+849 =1086. Если переставить 7 и 9 местами, то получим новый пример. Если переставить 3 и 4 то получим еще один пример. Если переставить 7 и 9, а также 3 и 4, то получим четвертый пример.

Критерии: Одно решение – 1 балл, два решения – 3 балла, три решения – 5 баллов.

  1. Каким наименьшим числом ферзей, не бьющих друг друга, можно побить все клетки доски, изображенной на рисунке? (Ферзь бьет на любое количество клеток по вертикали, горизонтали и диагонали от себя, а также клетку, на которой он стоит).

Решение: Незнайка сможет обойтись тремя ферзями (см. рис)

Докажем, что двух ферзей незнайки не хватит.

Красную и синюю клетку не может бить один и тот же ферзь. Значит, их бьют два разных ферзя. Назовем их оранжевым ферзем и изумрудным ферзем соответственно. Также один и тот же ферзь не может бить красную и зеленую клетку. Значит, зеленую клетку бьет изумрудный ферзь. Тогда он может стоять только в одной клетке (см. рис.). Аналогично желтую клетку не может бить изумрудный ферзь, значит, ее бьет оранжевый и это автоматически определяет его клетку. Легко видеть, что при такой расстановке ферзей они не бьют черную клетку. Значит двумя ферзями побить нельзя.

Критерии: Верный пример – 3 балла.

  1. Можно ли грани куба пронумеровать числами 1, 2, 3, 4, 5 и 6 так, чтобы номер каждой грани являлся делителем суммы номеров соседних четырех граней?

Решение: Допустим, нам удалось пронумеровать грани куба с соблюдением условия задачи. Рассмотрим грань номер 6. Сумма номеров четырёх соседних с ней граней должна делиться на 6. Эта сумма не меньше 1+2+3+4=10 и не больше 2+3+4+5=14, т.е. она должна быть равна 12. Поскольку 1+2+3+4+5=15, для получения суммы 12 на грани, противоположной шестёрке, должна быть тройка. Теперь рассмотрим грань номер 5. Как мы уже показали, два её соседа – это 6 и 3. Сумма двух других её соседей не меньше 1+2=3 и не больше 2+4=6, т.е. сумма всех соседей пятёрки не меньше 12 и не больше 15. Поскольку она должна делиться на 5, то она равна 15, то есть на гранях, соседних с пятёркой, стоят 2, 3, 4 и 6. Следовательно, напротив пятёрки стоит единица. Но тогда в соседях у двойки – 1, 3, 5 и 6, а их сумма нечётна. Противоречие.

  1. Из квадрата 10×10 вырежьте 16 корытцев.

Решение:



6 класс.

  1. Вася записывал на доске числа. Каждое записанное число (кроме первого) было на два больше предыдущего. Петя записывал числа на другой доске. Каждое записанное число Пети (кроме первого) было на два меньше предыдущего. Вася записал 10 чисел, а Петя – 15. Последние, записанные Васей и Петей, числа отличаются на 1. Какая разность может быть между первыми числами Васи и Пети?

Решение: Вася написал 10 чисел, увеличивая их на два. Значит последнее число Вас на 18 больше, чем первое. Петя написал 15 чисел, каждый раз уменьшая их на 2. Значит последнее число Пети на 28 меньше, чем первое. Для последних чисел Васи и Пети возможны два варианта: васино число на 1 меньше, чем петино, или васино число на один больше чем петино.

В первом случае последнее петино число больше, чем первое васино на 19=18+1. Тогда первое петино число больше, чем первое васино на 47=19+28.

Во втором случае последнее петино число больше, чем первое васино на 17=18-1. Тогда первое число Пети больше, чем первое число Васи на 45=17+28.

Критерии: Один правильный ответ – 1 балл. Рассмотрение какого-либо, конкретного числа Васи – 2 балла.

  1. В корзине лежат рыжики и грузди. Среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов имеется хотя бы один груздь. Какое наибольшее количество грибов могло быть в корзине?

Решение: Груздей не может быть 12 или больше, потому что среди этих 12 грибов не будет рыжика. Рыжиков не может быть 20 и больше, потому что среди этих 20 грибов не будет груздя. Тогда всего грибов не может быть больше 11+19=30. Тогда максимальное количество грибов в корзине 30: 11 груздей и 19 рыжиков.

Критерии: Ответ – 2 балла. Ответ с примером – 3 балла.

  1. Из квадрата 10×10 вырежьте максимальное число корытцев и объясните, почему нельзя вырезать больше.

Решение: Пример на 16 корытцев изображен на рисунке..

Очевидно, что 17 корытцев нельзя вырезать, потому что они занимают 17*6=102 клетки.

Критерии: Ответ – 1 балл. Пример на 16 корытцев – 4 балла. Оценка, что больше нельзя – 3 балла.

  1. Каким наименьшим числом ферзей, не бьющих друг друга, можно побить все клетки доски, изображенной на рисунке? (Ферзь бьет на любое количество клеток по вертикали, горизонтали и диагонали от себя, а также клетку, на которой он стоит).

Решение: Незнайка сможет обойтись тремя ферзями (см. рис)

Докажем, что двух ферзей незнайки не хватит.

Красную и синюю клетку не может бить один и тот же ферзь. Значит, их бьют два разных ферзя. Назовем их оранжевым ферзем и изумрудным ферзем соответственно. Также один и тот же ферзь не может бить красную и зеленую клетку. Значит, зеленую клетку бьет изумрудный ферзь. Тогда он может стоять только в одной клетке (см. рис.). Аналогично желтую клетку не может бить изумрудный ферзь, значит, ее бьет оранжевый и это автоматически определяет его клетку. Легко видеть, что при такой расстановке ферзей они не бьют черную клетку. Значит двумя ферзями побить нельзя.

Критерии: Пример – 3 балла.

  1. Докажите, что количество решений ребуса кратно четырем (одинаковые буквы – одинаковые цифры, разные буквы – разные цифры).

Решение: Значения цифр В и Р, А и И можно переставлять местами, поэтому решения ребуса разбиваются на четвёрки. Как следствие, количество решений кратно 4.