microbik.ru
1




Урок 5

УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ

Условные вероятности


Если вероятность P(B)>0, то условной вероятностью P(A|B) события А при условии В называется отношение



Если обычная вероятность показывает, какую "долю" событие А составляет от достоверного события , то условная вероятность показывает, какую "долю" событие А (точнее общая часть А и В ) составляет от события В.

Условная вероятность обладает теми же свойствами, что и обычная вероятность, только для Р(А|В) роль достоверного события играет событие В. Таким образом условная вероятность соответствует ситуации, когда событие В уже произошло.
Задача 1. Один раз подбрасывается игральная кость. Найти вероятность того, что выпало число 2 при условии, что выпало четное число.

Решение. Пусть A = {выпало число 2}, B = {выпало четное число}.

I способ. = {выпало число 2}. Очевидно, P(B) = 3/6 = 1/2, P() = 1/6. Следовательно,



II способ. Так как событие B произошло, то множество равновероятных элементарных исходов Ω = {число 2, число 4, число 6}, а {число 2} – исход, благоприятный событию A|B. Поэтому, P(A|B) = 1/3.

Ответ. 1/3.

Независимость событий


События А и В называются независимыми, если



Для независимых событий Р(A|B) = Р(A), то есть условная вероятность равна обычной (безусловной) вероятности. Это равенство отражает наше обыденное представление о независимости событий.

Можно показать, что если события A и B независимы, то независимы события и B, A и , и .
Задача 2. При изготовлении изделия необходимо выполнить две операции. Вероятность появления брака при первой равна 0,01, а при второй – 0,02, причем появление брака при каждой из операции – независимые события. Найти вероятность того, что в итоге будет получено качественное изделие.

Решение. Рассмотрим события:

А = {брак не появился при первой операции}, Р(А) = 0,99;

В = {брак не появился при второй операции}, Р(В) = 0,98.

Изделие будет качественным, если брак не произойдет при обеих операциях , то есть при пересечении событий А и В:

= {получено качественное изделие}.

Так как событий А и В независимые, то



Ответ. 0,9702.
Система событий А1, А2,.., Аn называется независимой, если для любой ее подсистемы выполняется равенство:

.

Так, например, система трех элементов А, В, С называется независимой, если выполняются четыре равенства:









Следует отметить, что попарная независимость событий не влечет независимости всей системы. Это можно проиллюстрировать на следующем примере.
Задача 3. Из четырех студентов студент S1 владеет английским языком, студент S2 – немецким, S3 – французским, а S4 – всеми этими тремя языками (полиглот). События: А = {выбранный наудачу студент владеет английским языком}, В = {выбранный наудачу студент владеет немецким языком}, С = {выбранный наудачу студент владеет французским языком}. Выяснить, зависимы или нет события А и В, A и С, B и C, события А, В, С в совокупности.

Решение. Число возможных равновероятных исходов при выборе студента 4: S1, S2, S3, S4. Имеем следующие благоприятные исходы для событий: А={S1, S4}, В={S2, S4}, С={S3, S4}, ={S4}.

Следовательно, события А, В, С попарно независимы, так как



но вся система А, В, С не является независимой, так как



Ответ. События А, В, С попарно независимы но вся система А, В, С не является независимой.
Задача 4. Релейная схема состоит из трех последовательно соединенных элементов. Выразить событие A = {отказ схемы} через события Ai = {отказ i-ого элемента} (i = 1, 2, 3) и найти вероятность события A при условии, что отказы отдельных элементов независимы, а вероятность отказа элемента с номером i равна pi.



Решение. Так как событие Ai – отказ элемента с номером i, то – противоположное событие, состоящее в том, что элемент с номером i работает. Заметим, что схема не работает при условии, что не работает хотя бы один элемент, и работает при условии, что работают все три элемента, поэтому . Так как система событий Ai независимая, то .

Ответ. , P(A) = 1 – (1 – p1) (1 – p2) (1 – p3).
Задача 5. Релейная схема состоит из трех параллельно соединенных элементов. Выразить событие A = {отказ схемы} через события Ai = {отказ i-ого элемента} (i = 1, 2, 3) и найти вероятность события A при условии, что отказы отдельных элементов независимы, а вероятность отказа элемента с номером i равна pi.



Решение. Будем пользоваться теми же обозначениями, что и в предыдущей задаче. Заметим, что схема. не работает при условии, что не работают все элементы, и работает при условии, что работает хотя бы один элемент, поэтому . Так как система событий Ai независимая, то

.

Ответ. , P(A) = p1p2p3.
Задача 6. Релейная схема состоит из пяти элементов. Найти вероятность события В = {схема работает}, при условии, что отказы отдельных элементов независимы, а вероятность отказа элемента с номером i равна .



Решение. Разобьем нашу схему на блоки I1, I2, I3 .



Введем обозначения: событие Bj = {блок Ij работает} (j = 1, 2, 3), qi = 1 – pi – вероятность работы элемента с номером i. Так как блоки I1 и I2 соединены последовательно, то схема работает, если работают оба блока, то есть на языке событий: . В силу независимости отказов отдельных элементов события В1 и В2 также независимы, поэтому P(B) = P(B1)∙P(B2). В блоке I1 элементы 1 и 2 соединены параллельно, поэтому блок I1 откажет, если откажут оба элемента 1 и 2, то есть P(B1) = 1 – p1p2. аналогично, блок I2 откажет, если откажут блок I3 и элемент 5, то есть ; в свою очередь I3 откажет, если откажет хотя бы один из элементов 3 или 4, то есть . Следовательно, P(B) = (1 – p1p2)(1 – (1 – q3q4)p5).

Ответ. P(B) = (1 – p1p2)(1 – (1 – q3q4)p5).