microbik.ru
1 2 3


ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ

ИНСТИТУТ

Кафедра Экономико-математических методов и моделей

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И ПРИКЛАДНЫЕ МОДЕЛИ




Контрольная работа

Вариант № 2

Выполнила:

Факультет Группа №

л/д №

Проверила: Бесхлебнова Галина Александровна

Москва 2007

Задача 1.

Решить графическим методом типовую задачу оптимизации.

1.2. Совхоз для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В. Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одного животного, чтобы затраты были минимальными? Использовать данные таблицы:


Корма
Питат. вещества

Количество питательных веществ в 1 кг корма

1

2

А

В

2

2

1

4

Цена 1 кг корма, т.руб.

0,2

0,3


Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум и почему?
РЕШЕНИЕ:

Введем следующие обозначения:

количество кормов первого вида;

количество кормов второго вида. Цена 1 кг корма первого вида составляет (тыс. руб.), а цена 1 кг корма второго вида – (тыс. руб.), т.е. необходимо минимизировать целевую функцию:



Ограничения задачи имеют вид:



,

Первое ограничение по питательному веществу А . Прямая проходит через точки (0;6) и (3;0) (рис. 1.1).

Второе ограничение по питательному веществу В . Прямая проходит через точки (0;3) и (6;0) (рис. 1.1).

Решением каждого неравенства системы ограничений ЗЛП является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее. Пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы, называется областью допустимых решений.

Рис. 1. 1.






Решением неравенств будет являться полуплоскость, лежащая выше пересекающихся прямых и . В данном случае целевая функция не ограничена сверху – это особый случай решения ЗЛП, максимальной точки нет.

При минимизации функции линия уровня перемещается в направлении противоположному вектору – градиенту.

Решая систему уравнений

,

Находим, что , .




Ответ:

Затраты на корма будут минимальными , если ежедневно будет расходоваться по 2 килограмма кормов каждого вида

(,).

При решении задачи на максимум – решений не будет, т.к. целевая функция не ограничена сверху (особый случай ЗЛП).

Задача 2. Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования.
2.2. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.



Тип сырья



Нормы расхода сырья на одно изделие


Запасы

сырья



А


Б


В


Г



I

II

III



1

0

4


0

1

2


2

3

0


1

2

4


180

210

800

Цена изделия

9

6

4

7






Требуется:

  1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

  2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

  3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

  4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

    • проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

    • определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья II и III вида на 120 и 160 единиц соответственно и уменьшении на 60 единиц запасов сырья I вида;

    • оценить целесообразность включения в план изделия "Д" ценой 12 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.


РЕШЕНИЕ:

1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

норма расхода сырья на одно изделие А

норма расхода сырья на одно изделие Б

норма расхода сырья на одно изделие В

норма расхода сырья на одно изделие С

Целевая функция имеет вид

, где

Ограничения:









Оптимальный план найдем через Поиск решений в надстройках Excel (рис. 2.1), и (рис. 2.2).

Рис. 2.1


Рис. 2.2



Полученное решение означает, что максимальную выручку от реализации готовой продукции (2115 ед.) предприятие может получить при выпуске 95 единиц изделия А и 210 единиц изделия В. При этом тип сырья 2 и 3 будут использованы полностью, а из 180 единиц сырья 1 будет использовано только 95 единиц.

Excel позволяет представить результаты поиска решения в форме отчета рис. 2.3.

Рис. 2.3

Содержание отчета по результатам



В отчете по результатам содержатся оптимальные значения переменных , которые соответственно равны 95; 210; 0; 0; значение целевой функции – 2115, а также левые части ограничений.

Оптимальный план

2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

Число неизвестных в двойственной задаче равно числу функциональных ограничений в исходной задаче. Исходная задача содержит 3 ограничения: тип сырья 1, 2 и 3. Следовательно, в двойственной задаче 3 неизвестных:

двойственная оценка типа сырья 1

двойственная оценка типа сырья 2

двойственная оценка типа сырья 3

Целевая функция двойственной задачи формулируется на минимум. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены в системе ограничений исходной задачи:



Необходимо найти такие «цены» на типы сырья,чтобы общая стоимость используемых типов сырья была минимальной.

Ограничения. Число ограничений в системе двойственной задачи равно числу переменных в исходной задаче. В исходной задаче 4 переменных, следовательно, в двойственной задаче 4 ограничения. В правых частях ограничений двойственной задачи стоят коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи. Левая часть определяет стоимость типа сырья, затраченного на производство единицы продукции.

Каждое ограничение соответствует определенной норме расхода сырья на единицу продукции:











Найдем оптимальный план двойственной задачи, используя теоремы двойственности.

Воспользуемся первым соотношением второй теоремы двойственности

тогда









Подставим оптимальные значения вектора в полученные выражения







И получим

так так 95 < 180, то ,

,

.

Воспользуемся вторым соотношением второй теоремы двойственности

если

В задаче и , поэтому первое и второе ограничения двойственной задачи обращаются в равенства









Решая систему уравнений:

,получим , ,

Проверяем выполнение первой теоремы двойственности





Это означает, что оптимальный план двойственной задачи определен, верно.

Решение двойственной задачи можно найти, выбрав команду Поиск решений – Отчет по устойчивости (рис.2.4).

Рис.2.4


следующая страница >>