microbik.ru
1
6. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ (И ИХ ЗВЕНЬЕВ).
Свойства звеньев, их соединений и АСР в целом определяются их характеристиками [Л.5]. Характеристики могут быть статическими и динамическими. Статические характеристики определяет зависимость между входной и выходной величинами звена или системы в установившемся состоянии. Динамические характеристики определяют свойства звеньев и систем в переходном процессе. Динамические характеристики в свою очередь подразделяются на временные (или переходные) и частотные.

Характеристики могут быть получены экспериментальным путём или в результате аналитических или графоаналитических расчётов.

Знание характеристик звеньев и АСР необходимо для оценки их динамических свойств, анализом и синтеза систем с требуемым качеством функционирования.
6.1. Статические характеристики.
Статика регулирования изучает равновесные установившееся состояния, которые имеют место при (разных) постоянных значениях возмущающих и управляющих воздействий на систему [Л.1]. В результате изменения воздействия от одного постоянного значения до другого в системе возникает переходный процесс. Если система регулирования устойчива, то координаты системы при этом будут стремиться к некоторым установившемся значениям. Эти конечные значения и рассматривает статика.

Состояние равновесия, как в отдельных звеньях, так и в системах, составленных из звеньев, не всегда устойчиво (*Теорию устойчивости мы будем рассматривать позднее*).


В общем случае звено АСР может характеризоваться ℓ координатами (Xвых1, Xвых2, …, Хвыхl), зависящими от m воздействий на звено (Xвх1, Xвх2,…, Хвхm).

* Зарисуем блок-схему звена (рис.6-1)*

Рис.6-1.

Установившееся состояние звена можно описать системой функций:





Эти уравнения называются уравнениями статики звена. Формально их можно получить из уравнения динамики, прировняв нулю все производные от координат и от возмущающих воздействий, поскольку значения и тех и других в установившемся режиме постоянны.

* Рассмотрим элемент, состояния которого определяется лишь одной координатой, зависящей от одного управляющего воздействия (рис. 6-2) *


*Уравнение статики в этом случае записывается в следующем виде *

Рис.6-.2 Xвх=ƒ(Xвых) (6-2)

График функции (6-2) называется статической характеристикой звена. Такими простейшими статическими характеристиками обладают многие измерительные преобразовательные и управляющие элементы систем регулирования.

Таким образом, статической характеристикой звена или системы называется зависимость выходной величины от различных постоянных значений входной величины в установившихся режимах [Л.5]

В зависимости от вида функции ƒ звенья системы можно разделить на статические и астатические [Л. 1]

*
Ранее уже давалось определение статических и астатических систем. Напомним, что если установившиеся значения ошибки в системе звена зависит от установившегося значения возмущения, то система (звено) называется статической, а если не зависит – то астатической. [Л.2] *

Изобразим статические характеристики статической (рис.6-3) и астатической (рис.6-4) систем.

Рис. 6-3.

Статические характеристики делятся на линейные, у которых функция ƒ в рассматриваемом диапазоне изменения Хвх и Хвых есть линейная функция:

Хвых = а + bXвх,

(где a и b - постоянные), и нелинейные, у которых функция ƒ имеет иной, более сложный вид [Л.1].

* Одним из примеров нелинейной характеристики может служить релейная характеристика (рис.6-5)*.



Uср Нелинейные статические характеристики, посредством которых апроксимируются характеристики реальных систем, будем делить на аналитические для которых функция ƒ является аналитической функцией, т.е. непрерывной функцией, имеющей во всех точках непрерывные производные, и неаналитические, у которых либо сама функция ƒ, либо её производные в отдельных точках терпят разрыв [Л.1].
Аналитические статические характеристики имеют вид плавных кривых (рис.6-3). Примером неаналитической характеристики может служить характеристика трёхпозиционного поляризованного реле (рис.6-5)[Л.1.стр.100]. Характеристика не анлитична, так как при Uвх =  Uср выходная величина меняется скачком.

Статические свойства системы оценивают несколькими показателями [Л. 2]. Один из них – это абсолютное значение статической ошибки (см. рис. 6-3)
ΔXвых =/ Хвыху - Хвыхн /,

где Хвыху – установившееся значение управляемой величины при заданном значении возмущения Хвху

Хвыхн – номинальное значение управляемой величины.

Е
сли номинальное значение управляемой величины равно среднеарифметическому от её максимального и минимального значений

то максимальное значение ошибки
ΔXвых max=/ Хвых1 - Хвыхн /= / Хвых2 - Хвыхн /.
В

торой показатель – это относительная статическая ошибка, или статизм, системы

которой можно характеризовать коэффициентом статизма, равным тангенсу угла наклона статической характеристики æ = tg. Если система линейная, то её статическая характеристика так же будет линейной. Для такой системы
Для нелинейной системы коэффициент статизма определяется для каждого значения возмущения как тангенс угла наклона касательной к статической характеристике в точке, соответствующей данному значению возмущения (рис.6-3), и называется местным коэффициентом статизма.

Э
ффективность автоматической системы в установившемся режиме оценивают так называемой степенью точности – отношения абсолютной статической ошибки неавтоматизированного объекта управления (без регулятора) к абсолютной статической ошибке автоматической системы

(рис.6-3). Очевидно, что чем выше степень точности, тем больше эффективность автоматической системы в установившемся режиме.

Для астатической системы абсолютное значение статической ошибки и коэффициент статизма равны нулю, а степень точности – бесконечности.

6.2. Статические характеристики соединений звеньев.
Чтобы получить статическую характеристику параллельного соединения звеньев по заданным характеристикам звеньев, следует построить характеристики звеньев в одинаковом масштабе и просуммировать их ординаты [Л.1]. Такое построение статической характеристики основано на том, что при параллельном соединении звеньев результирующий выходной сигнал соединения равен сумме выходных сигналов звеньев, а входной сигнал соединения является одновременно входным сигналом для каждого звена [Л.5].

При последовательном соединении звеньев входная величина первого звена является входной величиной соединения, выходная величина первого звена является входной величиной второго звена и т.д. Выходная величина последнего звена является выходной величиной соединения.

С учётом этого можно рекомендовать следующий приём определения статистической характеристики соединения, н-р, из 3 последовательных звеньев. Статическая характеристика первого звена Хвых1=f(Xbx1) строиться в I квадрате. Так как выходная величина первого звена Хвых1 является входной величиной Хвых2 для второго звена, то строим статическую характеристику второго звена во II квадранте таким образом, чтоб её ось абсцисс Хвх2 совпадала с осью ординат Хвых1, а ось ординат Хвых2 – с отрицательным направлением оси абсцисс (-Хвх1), т.е. график статической характеристики располагается во II квадранте (повёрнут на 90* против часовой стрелки). Соответственно график статической характеристики третьего звена располагается в третьем квадранте, т.е. повёрнут против часовой стрелки на 180*. При таком расположении статических характеристик в случае поступления на вход соединения величины Х0вх на выходе первого звена получим выходную величину Х0вых1, которая будет входной величиной Х0вх2 для второго звена.

Выходная величина Х0вых2 второго звена является входной величиной Х0вх3 третьего звена. На выходе третьего звена устанавливается выходная величина Х0вых3, которая является выходной величиной Х0вых соединения. Если теперь в IV квадранте восстановить перпендикуляры к осям абсцисс и ординат в точках Х0вх и Х0вых, то в их пересечении получим точку, которая принадлежит статической характеристике соединения, т.к. она определяет зависимость между входной и выходной величинами соединения в установившемся состоянии. Производя аналогичные построения для других значений входной величины, получим статическую характеристику соединения в IV квадранте.

При построении статистической характеристики соединения, состоящего из двух звеньев, в третьем квадранте проводиться вспомогательная линия из начала координат под углом 45* к оси абсцисс, что эквивалентно условному подключению третьего звена, у которого выходная величина будет равной входной величине, и, следовательно, это звено не искажает действительную статическую характеристику соединения.

При определении статических характеристик соединения, образованного из более чем трёх последовательных звеньев, построение выполняется для первых трёх звеньев, затем повторяется для последующих трёх и т.д. После этого выполняют аналогичные построения с полученными результирующими статическими характеристиками и, таким образом, находят статическую характеристику всего соединения.

Из рассмотренного способа вытекает возможность синтеза получения желаемой статистической характеристики такого соединения.

Предположим, статическая характеристика одного из трёх последовательно соединённых звеньев может изменяться за счёт соответствующего выбора конструктивных решений при его проектировании. В этом случае заданные статические характеристики двух звеньев на рис. 6-6 располагаются в I и II квадрантах, а желаемая статическая характеристика соединения – в IV квадранте. Так как выходная величина соединения, н-р, Х0вых является соответственно выходной величиной третьего звена, а выходная величина Х0вых2 второго звена – входной третьего звена, то, восстанавливая в III квадранте перпендикуляры к осям абсцисс и ординат в точках Х0вых2 и Х0вых, в их пересечении получим точку, которая должна принадлежать статической характеристике третьего звена, т.к. она определяет зависимость между входной величинами этого звена в установившемся состоянии. Выполняя аналогичные построения для других значений входной величины соединения, получим график искомой статической характеристики третьего звена, обеспечивающей желаемую статическую характеристику соединения.

Р
ис. 6-7.


При встречно-параллельном соединении звеньев (соединенный с О.С.) (рис.6-7) на вход звена в прямой цепи поступает разность между входной величиной соединения Хвх и выходной величиной звена О.С. Хос.

Предположим, что статические характеристики звеньев известны. *Тогда в I квандранте строится статическая характеристика звена в прямой цепи (кривая 1), а во II – звена О.С (кривая 2). При отрицательной обратной связи для построения статической характеристики соединения необходимо к обсциссам кривой 1 прибавить обсциссы кривой 2, получим кривую 3.

При положительной О.С из абсцисс кривой 1 необходимо

вычесть абсциссы кривой 2, получим пунктирную кривую.*


Рис. 6-8.

Типовые виды внешних воздействий.

Внешние воздействия на системы регулирования в общем случае представляют собой непрерывно изменяющуюся функцию времени, и при анализе систем практически не возможно учесть действительный характер изменения этих воздействий. Поэтому ограничиваются рассмотрением реакции систем на воздействие в форме одной из типовых функций, которую математически можно описать сравнительно легко. К числу типовых функций относятся:

Р
ис. A) B) C) D)


  1. единичный скачок (рис. а)

  2. единичный импульс (рис. б)

  3. гармоническое (синусоидальное) воздействие (рис. в)

  4. воздействие, непрерывно возрастающее с постоянной скоростью (рис. г)


Любое типовое воздействие вызывает в системе некоторый переходный процесс, по окончанию которого система (при условии, что она устойчива) переходит в установившийся режим.

Воздействие на систему сигнала, являющегося ступенчатой функцией времени обусловливает наиболее трудный режим её работы (мгновенный прыжок).

При исследовании следящих систем дискретного действия определяется их реакция на воздействие в виде импульсной функции.

При анализе систем регулирования основным воздействием является гармоническое колебание, которое можно выразить зависимостью x(t)=A*sinωt.
6.3. Временные характеристики.

Под временными характеристиками системы в общем случае понимается графическое изображение процесса изменения выходной величины в функции времени при переходе системы из одного равновесного состояния в другое в результате поступления на вход системы некоторого типового воздействия [Л5].

Т.к. дифференциальное уравнение системы тоже определяет изменение выходной величины в функции времени при некоторых начальных условиях, то временная характеристика изображает собой решение дифференциального уравнения системы для принятого типового воздействия и , следовательно, полностью характеризует динамические свойства системы.

Т.к. временные характеристики могут быть получены не только путем решения дифференциального уравнения системы, но и экспериментально, то возможность определения динамических свойств системы по временной характеристике имеет исключительно важное практическое значение, поскольку в этом случае не требуется выводить и решать дифференциальное уравнение, что является в общем случае очень тредоемкой, а иногда и неразрешимой задачей.

Вначале необходимо решить, какую форму входного воздействия целесообразно выбрать (Л.2). Во-первых, воздействие должно соответствовать наиболее тяжёлому режиму работы системы из числа встречающихся при её эксплуатации. Во-вторых, оно должно быть достаточно простым, чтобы не затруднять решения дифференциальные уравнения. Этим условиям удовлетворяют воздействия двух форм: единичная ступенчатая функция (единичный скачок) и единичный импульс. *)

Математическое выражение единичного ступенчатого воздействия может быть записано в виде (Л.5):
f(t)={ 0 при t<0 / 1 при t0

Рис. 6-9.

Г
рафически единичное ступенчатое воздействие изображается в виде (рис.6-9).

Под единичным импульсным воздействием понимается предельно короткий (по времени) импульс
(t)={  при t=0 / 0 при t0
площадь которого равна единице, т.е.



Рис. 6-10.

Выражения для единичного импульса (t) в математике принято называть дельта - функцией. [См. более подробно в Л.1. стр. 88-90]

Графическое изображение реакции системы на единичное ступенчатое воздействие называется переходной характеристикой.

Аналитическое выражение переходной характеристики обозначается h(t) и называется переходной функцией.

Графическое изображение реакции системы на единичное импульсное воздействие называется импульсной переходной характеристикой.

Аналитические выражения импульсной переходной характеристики обозначается (t) и называется импульсной переходной функцией или весовой функцией (функция веса).

Почему берут не просто скачок и импульс, а единичный скачок и единичный импульс [Л.2]? Это делается для того, чтобы однозначно оценивать различные системы, т.к. на скачки (импульсы) различной интенсивности даже одна и та же система будет реагировать по-разному. По этой же причине выбираются одинаковые начальные условия (ненулевые). Кроме того, использование скачка или импульса в качестве стандартного возмущающего сигнала имеет ещё и то преимущество, что через эти сигналы можно выразить непрерывные сигналы любой формы. Например, если на вход системы действует сигнал X(t) (рис.6-11), то его можно представить в виде суммы скачков 1,2,3,4 или суммы импульсов 1,2,3…,8 определённой интенсивности, подаваемых в определённые моменты времени 0,t1,t2,t3(рис.6-11) или через равные промежутки времени t (рис.6-12). Найдя реакцию системы на каждый скачок (импульс) и просуммировав результат (для мин. систем применим принцип суперпозиции),





Рис. 6-11. Рис. 6-12.

получим реакцию системы на суммарный входной сигнал X(t).

При поступлении на вход звена или разомкнутой системы с передаточной функцией W(p) входной величины X0вх =1 на выходе получаем переходную характеристику Xвых = h(t) [Л.5.] рис 6-13 Согласно Приложению 1 [Л.5.] входная и выходная величины в преобразованном по Лапласу виде запишутся как

Xвх (p) = L[X0вх] = L[1] = 1/p;



L[h(t)] = h(p) = Xвых(p)

Рис. 6-13
С учетом этих соотношений получим:
W(p) = Xвых(p)/ Xвх(p) = p*h(p). (6-3)
Из выражения (6-3) следует, что по временной характеристике системы (например, по переходной функции) можно получить передаточную функцию системы. В настоящее время разработано несколько инженерных методов нахождения передаточной функции системы по ее экспериментальной переходной функции .
6.4. Частотные характеристики
В инженерной практике при анализе, синтезе и расчете АСР широкое применение нашли частотные характеристики.

Если на вход системы (или отдельного звена) подавать синусоидальные (гармонические) колебания с постоянной амплитудой и частотой Хвх(t) = Aвх**sin(wt) , то после затухания переходных процессов на выходе также возникают синусоидальные колебания Хвых(t) = Aвых**sin(wt+) с той же частотой, но с другой амплитудой и сдвинутые по фазе относительно входных колебаний (рис 6-14) [Л.5.].

На комплексной плоскости входная величина Хвх(t) = Aвх**sin(wt) для каждого значения времени, например , t1 определяется вектором Авх, проведенным из начала координат под углом wt1. Как следует из рис. 6-15 , действительная часть гармонической входной величины, представленной в комплексной форме, равна Aвх**cos(wt) ,а мнимая Aвх**sin(wt) . Обозначив значения комплексной входной величины различных значений времени в виде Хвх(t) , получим выражение для входной величины в комплексной тригонометрической форме:

_

Хвх(t) = Aвых**(cos(wt)+jsin(wt)) (6-4)

Так согласно формуле Эйлера:

Ejwt = cos(wt)+jsin(wt) (6-5)

То входная величина в показательной комплексной форме запишется так:

_

Хвх(t) = Aвх*ejwt (6-6)


рис. 6-14.



рис. 6-15.

Аналогичным образом выходная величина в показательной комплексной форме имеет вид:

_

Хвых(t) = Aвых*ej(wt+вых)



Подавая на вход системы гармонические колебания с одной и той же амплитудой, но различными частотами, на выходе системы тоже получаем гармонические колебания с теми же частотами, но различными амплитудами и фазами относительно входных колебаний.

Если начальная фаза входной величины не равна нулю, то в общем случае имеем:

_

Хвх(t) = Aвх*ej(wt+вх)
Отношение выходной величины системы к входной величине, выраженное в комплексной форме, называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ) системы.
_ _

Хвых(t)/Хвх(t) = Aвых/ Aвх* ej(вых-вх) = W(jw) (6-7)
Отношение амплитуд Aвых/ Aвх является модулем АФХ , а разность фаз вых- вх - фазой.

АФХ системы не зависит от времени . В этом ее принципиальное отличие от временной характеристики . Если временная характеристика определяет поведение системы в переходном процессе , то АФХ выражает зависимость параметров установившихся выходных колебаний от тех же параметров входных колебаний при различных частотах.

Однако, не смотря на то, что АФХ отображает только установившиеся процессы в системе , она в полной мере определяет также ее динамические свойства подобно временной характеристике или дифференциальным уравнениям . Так как:

_ _

dXвых (t)/dt = Aвых*j*w* ej(wt-вых) = j*w* Xвых (t);

_ _

d 2 Xвых (t)/dt 2 =( j*w) 2 * Xвых (t);

_ _

d n Xвых (t)/dt n =( j*w) n * Xвых (t);

то при подстановке этих выражений для производных в дифференциальные уравнения системы (5-1) для случая воздействия на нее гармонических колебаний Xвх(t) получим

[an(jw)n + an-1(jw)n-1+ a1(jw)+ a0]* Xвых (t) = [bm(jw)m + bm-1(jw)m-1+ b1(jw)+ b0]* Xвх (t) (6-8)

Из выражения (6-8) определяем АФХ системы
Xвых (t)/ Xвх (t) = W(jw) =[ an(jw)n + an-1(jw)n-1+ a1(jw)+ a0 ]/ [bm(jw)m + bm-1(jw)m-1+ b1(jw)+ b0] = Q(jw)/P(jw) (6-9)
При сравнении выражений (6-9) и (5-9) видно, что для получения АФХ не нужно производить каких-либо математических преобразований, а достаточно в передаточной функции звена или системы W(p) заменить переменную р

на jw .
Обозначив в формуле (6-7) Авых/ Авх = W(p) и вых- вх =  (w) , получим:

W(jw) = W(w)*exp(j (w)) (6-10)

Зависимость отношения амплитуд выходных и входных колебаний от их частоты называется

амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ).

W(w) = Авых/Авх (6-11)

АЧХ является модулем АФХ .

W(w) = |W(jw)| = |Q(jw)|/|P(jw)| (6-12)

Зависимость разности фазы выходных и входных колебаний от частоты называется

фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) системы.

 (w) = вых- вх (6-13)
ФЧХ является аргументом АФХ системы . Так как:

Q(jw) = b0 + j*b1w - b2w 2 - j*b3w 3 + b4w 4 + j*b5w 5 - ...................

P(jw) = a 0+ j*a1(jw) - a2w 2 - j*a3w 3 + a4w 4 + j*a5w 5 - ...................

то, разделив оба полинома на действительную и мнимую части, получим:

Q(jw) = RQ(w) + j* IQ(w)

P(jw) = RP(w) + j* IP(w)

где

RQ(w) = b0 - b2w 2 + b4w 4 ...................: вещественная часть полинома Q(jw)

IQ(w) =b1w - b3w 3 + b5w 5 ...................: мнимая часть полинома Q(jw)

RP(w) = a0 - a2w 2 + a4w 4 ...................:вещественная часть полинома P(jw)

IP(w) = a1w - a3w 3 + a5w 5 ...................: мнимая часть полинома P(jw)

С учетом этих зависимостей АЧХ системы выразится так:

__________ ____________

W(w) = ( R2Q(w) + I2Q(w))/ ( R2P(w) + I2P(w)) (6-14)
АФХ:
W(jw) = Q(jw)/ P(jw) = ( RQ(w) + j*IQ(w))/ ( RP(w) + j*IP(w))

Умножив числитель и знаменатель этой дроби на сопряженный множитель RP(w) - j*IP(w) , получим:
W(jw) = ( RQ(w) * RP(w) + IQ(w) * IP(w))/ ( R2P(w) +I2P(w)) + j*( IQ(w) * RP(w) + IP(w) * RQ(w))/ ( R2P(w) +I2P(w)) .
Обозначив
; (6-15)
; (6-16)

Имеем:

(6-17)
Величина U(w) называется вещественной частотной характеристикой системы.

Величина V(w) называется мнимой частотной характеристикой системы.

Т.о., получаем всего 5 частотных характеристик:

  1. Амплитудно-фазовая W(jw)

  2. Амплитудно-частотная W(w)

  3. Фазово-частотная (w)

  4. Вещественная частотная U(w)

  5. Мнимая частотная V(w).

Между этими характеристиками, кроме зависимостей (6-10) – (6-17), имеются следующие очевидные связи:

; (6-18)

; (6-19)

Для инженерных расчётов широко применяется графическое изображение АФХ на комплексной плоскости в координатах U(w), jV(w).

Из выражения (6-15) следует, что вещественная частотная характеристика является чётной функцией частоты, т.к. w входит как в числитель, так и в знаменатель только в чётных степенях (w2, w4, w6 и т.д.) и, следовательно .

Из выражения (6-17) видно, что мнимая частотная характеристика является нечётной функцией частоты, т.к. w входит как в знаменатель в чётных степенях, а числитель можно представить как произведение w на сомножитель, содержащий w в четных степенях, следовательно .

Т.о., точки АФХ, соответствующие значениям wk и -wk , имеют одну и ту же абсциссу U и равные по модулю, но разные по знаку ординаты V.

Следовательно, АФХ симметрична относительно действительной оси и достаточно построить её только для w от 0 до +, т.к. другая ветвь характеристики для w от - до 0 является зеркальным отображением построенной части относительно действительной оси.

На АФХ наносятся частотные отметки и стрелками указывается направление возрастания частоты.

Частотные характеристики широко используются в инженерной практике. Особым их достоинством является то, что они могут быть получены экспериментальным путём, что особенно важно для систем, аналитические уравнения которых не представляется возможным получить из-за их сложности и мало изученности объекта с точки зрения математического описания технологического процесса.

(примеры построения частотных характеристик будут рассмотрены при рассмотрении типовых динамических звеньев).
6.5. Логарифмические частотные характеристики.
* Для инженерных расчётов особенно широко используются частотные характеристики, построенные в логарифмическом масштабе [Л.5].

Известно, что кривизна значительного количества кривых при построении их в логарифмическом масштабе уменьшается [Л.1]. Это и используется для аппроксимации амплитудных и фазовых частотных характеристик, построенных в логарифмическом масштабе, посредством ломаных линий, составленных в значительной части из прямолинейных отрезков.

Логарифмируя выражение (6-10) АФХ, получаем [Л.5]:

lgW(jw)=lgW(w)+j(w)*lg(e).

Логарифмической единицей усиления или ослабления сигнала при прохождении его через какое-либо устройство при выражении десятичным логарифмом величины отношения мощностей на выходе Рвых к мощности на входе Рвх в технике принят бел (по имени американского изобретателя А. Белла).

Т.к. мощность сигнала пропорциональна квадрату его амплитуды, то с учётом (6-11) получим:

.

Т.к. бел является достаточно крупной единицей усиления (ослабления) мощности (увеличения мощности в10 раз = 1б), то в теории автоматического регулирования за единицу измерения её принят децибел 1дб = 0.1б.

С учётом этого можем записать:



Величина логарифма АЧХ, выраженная в децибелах

L(w)=20lgW(w) , называется логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ).

Фазо-частотная характеристика (w), построенная в полулогарифмическом масштабе (в координатах: угол  в градусах или радианах и lg w) , называется логарифмической фазо-частотной характеристикой (ЛФЧХ).

За единицу измерения частоты используется логарифмическая единица октава или более крупная – декада. Октавой называется диапазон частот между какой либо величиной частоты и её удвоенным значением.

В логарифмическом масштабе частот отрезок в 1 октаву имеет одну и ту же длину, не зависящую от величины w и равную

lg2w-lgw=lg2+lgw-lgw=lg2.

Декадой называется диапазон частот между какой либо величиной частоты и её десятикратным значением.

В логарифмическом масштабе частот отрезок в 1 декаду имеет одну и ту же длину, не зависящую от величины w и равную

lg10w-lgw=lg10+lgw-lgw=lg10=1.

[Л.1] ЛАЧХ и ЛФЧХ называются также диаграммами Боде (по имени впервые предложившего их американского учёного).

[Примеры построения характеристик будут рассмотрены позднее]